정답
\(\displaystyle E_1=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}\), \(\displaystyle P=\frac14-\frac{1}{2\pi}\), \(\displaystyle [p^2,x]\phi_1(x)=-2\hbar^2\frac{d\phi_1}{dx}= -2\hbar^2\sqrt{\frac{2}{a}}\frac{\pi}{a}\cos\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\ (0<x<a)\)이다.
출제 의도
무한 퍼텐셜 우물에서 경계조건으로 허용 파수와 바닥상태 파동함수를 정하고, 정규화된 파동함수로 구간 확률을 적분해 계산하는 능력을 본다. 또한 운동량 연산자의 미분표현을 이용해 교환자 \([p^2,x]\)를 연산자로 정리하고 특정 고유함수에 작용시키는 계산력을 평가한다.
풀이 과정
주어진 파동함수는 \(0\le x\le a\)에서 \(\phi(x)=A\sin kx+B\cos kx\), 그 밖에서는 0이다. 무한 우물에서는 경계에서 파동함수가 0이므로 \(\phi(0)=0\), \(\phi(a)=0\)을 만족해야 한다.
\(\phi(0)=A\sin 0+B\cos 0=B=0\)이므로 \(B=0\)이다. 따라서 \(\phi(x)=A\sin(kx)\)이고 \(\phi(a)=0\)에서
$$ A\sin(ka)=0 \quad\Rightarrow\quad \sin(ka)=0 \quad\Rightarrow\quad ka=n\pi \ (n=1,2,\dots). $$
따라서 허용 파수는 \(k_n=\dfrac{n\pi}{a}\)이고, 바닥상태는 \(n=1\)이므로 \(k_1=\dfrac{\pi}{a}\)이다. 무한 우물에서 에너지는
$$ E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m} $$
이므로
$$ E_1=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\pi}{a}\right)^2=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}. $$
이제 바닥상태 고유함수 \(\phi_1\)를 정규화한다. \(0\le x\le a\)에서 \(\phi_1(x)=A\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\)이고
$$ 1=\int_0^a |\phi_1(x)|^2dx =A^2\int_0^a \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right)dx =A^2\cdot\frac{a}{2} $$
이므로
$$ A=\sqrt{\frac{2}{a}},\qquad \phi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)\quad (0\le x\le a). $$
\(\frac34a\le x\le a\)에서의 발견 확률 \(P\)는
$$ P=\int_{3a/4}^{a}\left|\phi_1(x)\right|^2dx =\frac{2}{a}\int_{3a/4}^{a}\sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right)dx. $$
치환 \(u=\frac{\pi x}{a}\) (\(dx=\frac{a}{\pi}du\))를 하면 구간은 \(u: \frac{3\pi}{4}\to \pi\)가 되어
$$ P=\frac{2}{\pi}\int_{3\pi/4}^{\pi}\sin^2u\,du. $$
\(\sin^2u=\frac12(1-\cos2u)\)를 이용하면
$$ \int \sin^2u\,du=\frac{u}{2}-\frac{\sin2u}{4} $$
이므로
$$ \begin{aligned} P &=\frac{2}{\pi}\left[\frac{u}{2}-\frac{\sin2u}{4}\right]_{3\pi/4}^{\pi} =\frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{1}{4}\right)\right)\\ &=\frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\right) =\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}. \end{aligned} $$
마지막으로 \([p^2,x]\phi_1(x)\)를 구한다. 위치표현에서 \(p=-i\hbar\frac{d}{dx}\), \(p^2=-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}\)이므로 임의의 \(\psi\)에 대해
$$ [p^2,x]\psi=p^2(x\psi)-x(p^2\psi) =-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}(x\psi)+\hbar^2x\psi” =-\hbar^2(2\psi’+x\psi”)+\hbar^2x\psi” =-2\hbar^2\psi’. $$
따라서 연산자로서
$$ [p^2,x]=-2\hbar^2\frac{d}{dx}=2i\hbar\,p $$
이고, \(\phi_1′(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\frac{\pi}{a}\cos\left(\frac{\pi x}{a}\right)\)이므로 \(0<x<a\)에서
$$ [p^2,x]\phi_1(x)=-2\hbar^2\phi_1′(x) =-2\hbar^2\sqrt{\frac{2}{a}}\frac{\pi}{a}\cos\left(\frac{\pi x}{a}\right). $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>