정답
\(p=\dfrac13\) 일 때 함수 \(f\) 는 \(x=0\) 에서 연속이고, \(p=-1\) 일 때 임의의 양수 \(L\) 에 대해 \(f(x_0)=L\) 을 만족시키는 \(x_0>0\) 가 존재한다.
출제 의도
지수함수와 삼각함수의 곱으로 나타나는 진동함수의 극한을 조임정리로 다루는 법을 익히고, 변수 치환과 중간값 정리를 이용하여 진동하면서 발산하는 함수가 모든 실수값을 취함을 보이게 하는 것이 목적이다.
풀이 과정
함수 \(f:[0,\infty)\to\mathbb{R}\) 는
$$ f(x)= \begin{cases} x^p\cos\frac{1}{x}, & x>0,\\[4pt] 0,& x=0 \end{cases} $$
으로 정의되어 있다.
먼저 \(p=\dfrac13\) 일 때 \(x=0\) 에서의 연속성을 조사한다. \(x>0\) 에 대해
$$ \left|x^{1/3}\cos\frac{1}{x}\right| \le x^{1/3}\cdot 1=x^{1/3} $$
이고, \(x\to0^+\) 이면 \(x^{1/3}\to0\) 이므로 조임정리에 의해
$$ \lim_{x\to0^+}x^{1/3}\cos\frac{1}{x}=0 $$
이 된다. 정의에 따라 \(f(0)=0\) 이므로
$$ \lim_{x\to0^+}f(x)=0=f(0) $$
이다. 따라서 \(p=\dfrac13\) 일 때 함수 \(f\) 는 \(x=0\) 에서 연속이다.
이제 \(p=-1\) 인 경우를 보자. 이때
$$ f(x)=x^{-1}\cos\frac{1}{x},\quad x>0 $$
이다. 임의의 양수 \(L>0\) 가 주어졌을 때 \(f(x_0)=L\) 을 만족하는 \(x_0>0\) 가 존재함을 보여야 한다.
변수 치환 \(t=\dfrac{1}{x}\) 를 하면 \(x=\dfrac{1}{t}\), \(t>0\) 이고,
$$ f\!\left(\frac{1}{t}\right) = t\cos t $$
이므로 문제는 다음과 같이 바뀐다.
“연속함수 \(g(t)=t\cos t\) 가 임의의 \(L>0\) 에 대해 방정식
$$ t\cos t=L $$
을 만족하는 \(t>0\) 를 갖는다는 것을 보여라.”
\(g(t)=t\cos t\) 는 모든 실수 \(t>0\) 에서 연속이다. 이제 \(g(t)\) 의 값을 특정 점들에서 계산하자.
$$ g(2n\pi)=(2n\pi)\cos(2n\pi)=2n\pi>0, $$
$$ g((2n+1)\pi)=((2n+1)\pi)\cos((2n+1)\pi)=-(2n+1)\pi<0 $$
이다. 특히 \(n\) 을 충분히 크게 잡으면 \(2n\pi>L\) 이 되므로
$$ g(2n\pi)=2n\pi > L > 0,\qquad g((2n+1)\pi)=-(2n+1)\pi<0 $$
가 된다.
연속함수 \(g\) 가 구간 \([\;2n\pi,(2n+1)\pi\;]\) 에서 \(L\) 보다 큰 양수 값에서 음수 값으로 변하므로, 중간값 정리에 의해 이 구간 안의 어떤 점 \(t_0\) 에 대해
$$ g(t_0)=t_0\cos t_0 = L $$
을 만족한다.
이제 \(x_0=\dfrac{1}{t_0}>0\) 로 두면
$$ f(x_0) =f\!\left(\frac{1}{t_0}\right) =t_0\cos t_0 =L $$
이므로, 원하는 \(x_0\) 가 존재함이 증명되었다.
따라서 \(p=-1\) 일 때 임의의 양수 \(L\) 에 대해 방정식 \(f(x)=L\) 의 양의 해 \(x_0\) 가 항상 존재한다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>