정답
\(X\)와 \(Y\)는 서로 독립이며, \(P(X\le 2\mid Y\le 2)=1-e^{-1}\)이다.
출제 의도
결합확률밀도함수로부터 주변확률밀도함수를 구한 뒤, 결합밀도가 주변밀도의 곱으로 분해되는지(그리고 정의역까지 일치하는지)로 독립성을 판별하는 능력을 평가한다. 또한 독립성을 이용해 조건부확률을 간단히 계산할 수 있는지를 확인한다.
풀이 과정
주어진 결합확률밀도함수는 \(x>0,\,y>0\)에서 \(f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(x+y^2)}\) 이다. 먼저 주변밀도 \(f_X, f_Y\)를 구한다.
$$ f_X(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(x+y^2)}\,dy =e^{-\frac{x}{2}}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}\,dy,\quad x>0. $$
정규분포 밀도의 적분이 1이라는 성질로부터 \(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy=\frac12\) 이므로,
$$ f_X(x)=\frac12 e^{-\frac{x}{2}},\quad x>0. $$
다음으로 \(f_Y(y)\)를 구하면
$$ f_Y(y)=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(x+y^2)}\,dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x}{2}}\,dx,\quad y>0. $$
$$ \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x}{2}}\,dx=2 \quad\Rightarrow\quad f_Y(y)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}},\quad y>0. $$
이제 주변밀도의 곱을 계산하면
$$ f_X(x)f_Y(y)=\left(\frac12 e^{-\frac{x}{2}}\right)\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}\right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(x+y^2)},\quad x>0,\,y>0. $$
이는 주어진 \(f(x,y)\)와 정확히 같고, 정의역도 동일하므로 \(X\)와 \(Y\)는 서로 독립이다.
이제 조건부확률을 구한다. 독립이므로 사건 \(\{X\le2\}\)와 \(\{Y\le2\}\)는 독립이고, 따라서
$$ P(X\le 2\mid Y\le 2)=\frac{P(X\le 2,\,Y\le 2)}{P(Y\le 2)} =\frac{P(X\le 2)P(Y\le 2)}{P(Y\le 2)}=P(X\le 2). $$
\(f_X(x)=\frac12 e^{-x/2}\,(x>0)\) 이므로
$$ P(X\le 2)=\int_{0}^{2}\frac12 e^{-\frac{x}{2}}\,dx =\left[-e^{-\frac{x}{2}}\right]_{0}^{2} =1-e^{-1}. $$
따라서 \(P(X\le 2\mid Y\le 2)=1-e^{-1}\) 이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>