정답
\((3,8)\)을 포함하는 \(R=\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{12}\)의 가장 작은 아이디얼은 \(I\times J=\mathbb{Z}_{10}\times(4)\)이다. 또한 \((3,8)\mapsto 0\)인 전사 환 준동형사상 \(\phi:R\to S\)가 존재하는 \(S\)는 (동형을 제외하면) \(S\cong \mathbb{Z}_4,\ \mathbb{Z}_2,\ 0\) 뿐이다.
출제 의도
직접곱 환의 아이디얼이 성분별 아이디얼의 직접곱으로 나타난다는 사실을 이용해, 특정 원소를 포함하는 최소 아이디얼을 구하는 능력을 본다. 또한 ‘원소를 0으로 보내는 전사 준동형’은 커널이 그 원소가 생성하는 아이디얼을 포함한다는 점과 제1동형정리를 활용해 가능한 몫환들을 분류하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
\(R=\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{12}\)에서 \((3,8)\)을 포함하는 가장 작은 아이디얼은 \((3,8)\)이 생성하는 아이디얼 \(\langle(3,8)\rangle\)이다. 직접곱 환의 아이디얼은 \(I\times J\) 꼴이므로 \(\langle(3,8)\rangle\)도 어떤 \(I\subset\mathbb{Z}_{10}\), \(J\subset\mathbb{Z}_{12}\)에 대해 \(I\times J\)로 쓸 수 있다.
\(\mathbb{Z}_n\)에서 원소 \(a\)가 생성하는 아이디얼은 \((a)=(\gcd(a,n))\)이고, 따라서 \((a)=\mathbb{Z}_n\)가 되려면 \(\gcd(a,n)=1\)이면 충분하다.
먼저 \(\mathbb{Z}_{10}\)에서 \((3)\)을 보면 \(\gcd(3,10)=1\)이므로
$$ (3)=\mathbb{Z}_{10}. $$
다음으로 \(\mathbb{Z}_{12}\)에서 \((8)\)은 \(\gcd(8,12)=4\)이므로
$$ (8)=(4)=\{0,4,8\}\subset \mathbb{Z}_{12}. $$
따라서 \((3,8)\)이 생성하는 아이디얼은 성분별 생성 아이디얼의 곱과 같아
$$ \langle(3,8)\rangle=(3)\times(8)=\mathbb{Z}_{10}\times(4). $$
이제 조건을 만족하는 환 \(S\)를 분류한다. \(\phi:R\to S\)가 전사이고 \(\phi(3,8)=0\)이면 \((3,8)\in\ker\phi\)이므로
$$ \langle(3,8)\rangle\subset \ker\phi. $$
즉 \(\ker\phi\)는 \(\mathbb{Z}_{10}\times(4)\)를 포함하는 아이디얼이다. 직접곱 환의 모든 아이디얼은 \(I_1\times I_2\) 꼴이므로 \(\ker\phi=I_1\times I_2\)라 하면
$$ \mathbb{Z}_{10}\times(4)\subset I_1\times I_2 \quad\Rightarrow\quad \mathbb{Z}_{10}\subset I_1,\ (4)\subset I_2. $$
\(\mathbb{Z}_{10}\)에서 \(\mathbb{Z}_{10}\subset I_1\)이면 \(I_1=\mathbb{Z}_{10}\)뿐이다. 또한 \(\mathbb{Z}_{12}\)의 아이디얼은 \((d)\) (단 \(d\mid 12\))뿐이며, \((4)\subset (d)\)가 되려면 \(d\mid 4\)여야 하므로 \(d\in\{1,2,4\}\)이다. 따라서 가능한 커널은
$$ \ker\phi=\mathbb{Z}_{10}\times(4),\quad \mathbb{Z}_{10}\times(2),\quad \mathbb{Z}_{10}\times(1)=\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{12}. $$
제1동형정리에 의해 \(S\cong R/\ker\phi\)이고,
$$ (\mathbb{Z}_{10}\times\mathbb{Z}_{12})/(\mathbb{Z}_{10}\times I_2)\cong \mathbb{Z}_{12}/I_2 $$
이므로 각각
$$ \mathbb{Z}_{12}/(4)\cong \mathbb{Z}_4,\qquad \mathbb{Z}_{12}/(2)\cong \mathbb{Z}_2,\qquad \mathbb{Z}_{12}/(1)\cong 0 $$
를 얻는다. 결론적으로 조건을 만족하는 \(S\)는 동형을 제외하면 \(S\cong \mathbb{Z}_4,\ \mathbb{Z}_2,\ 0\)의 세 가지이며, 서로 서로 동형이 아니다(원소의 개수가 각각 \(4,2,1\)로 다름).
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>