정답
광경로차는 \(\Delta(x)=2(n-1)x\tan\alpha \simeq 2(n-1)\alpha x\)이고, 인접한 두 밝은 무늬 사이의 거리 \(S\)는
$$ S=\frac{\lambda}{2(n-1)\alpha} $$
이다.
출제 의도
마이켈슨 간섭계에서 한 팔에 쐐기 모양 매질이 삽입되었을 때 위치에 따라 달라지는 광경로차를 계산할 수 있는지, 그리고 그 결과를 이용해 스크린에 형성되는 직선 간섭무늬의 간격을 구할 수 있는지를 평가한다. 또한 작은 각도 근사 \(\tan\alpha\simeq\alpha\)의 물리적 의미를 이해하는지를 본다.
풀이 과정
마이켈슨 간섭계에서 스크린에 도달하는 두 빛은 (i) 쐐기를 통과하여 거울 \(M_2\)에서 반사된 빛과 (ii) 거울 \(M_1\)에서 반사된 빛이다. 두 거울은 반투명 거울로부터 같은 거리만큼 떨어져 있으므로, 쐐기가 없었다면 두 빛의 광경로는 동일하다.
따라서 광경로차는 오직 쐐기 모양 유리판을 통과함으로써 생긴다. 쐐기의 한쪽 끝을 기준으로 거리 \(x\)만큼 떨어진 지점에서의 쐐기 두께를 구한다.
쐐기의 기하학에서 각도가 \(\alpha\)로 매우 작으므로
$$ \text{두께 } t(x)=x\tan\alpha \simeq x\alpha. $$
빛은 쐐기를 왕복하므로(유리판 → 거울 \(M_2\) → 다시 유리판) 유리 속을 지난 총 기하학적 길이는 \(2t(x)\)이다. 공기 대신 굴절률 \(n\)인 유리를 통과하므로 추가되는 광경로는
$$ \Delta(x)=2\big(n-1\big)t(x). $$
이를 위의 두께 식에 대입하면
$$ \Delta(x)=2(n-1)x\tan\alpha \simeq 2(n-1)\alpha x. $$
이것이 위치 \(x\)에 따른 두 빛 사이의 광경로차이다.
이제 간섭무늬의 간격을 구한다. 밝은 무늬는 광경로차가
$$ \Delta(x)=m\lambda \qquad (m\in\mathbb{Z}) $$
를 만족할 때 형성된다. 인접한 두 밝은 무늬 \(m\)과 \(m+1\) 사이에서는 광경로차가 \(\lambda\)만큼 증가하므로
$$ \Delta(x+S)-\Delta(x)=\lambda. $$
\(\Delta(x)=2(n-1)\alpha x\)를 대입하면
$$ 2(n-1)\alpha S=\lambda. $$
따라서 스크린에 나타난 인접한 두 밝은 간섭무늬 사이의 거리는
$$ S=\frac{\lambda}{2(n-1)\alpha} $$
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>