정답
\(\displaystyle \rho_1=\frac{1}{2\pi G}\left(\frac{\Delta g}{\Delta h}-\mathrm{FAC}\right)\)
출제 의도
무한 수평층 근사에서 중력(부게) 효과와 프리에어 보정을 이해하고, 시추공 내 서로 다른 높이에서의 중력 이상 차이를 이용해 상부 층의 밀도를 식으로 도출하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
A층은 X 지점(그림에서 B층 내부의 점)보다 위에 있으므로, A층의 질량은 X에서 중력가속도 방향(아래쪽)과 반대인 ‘위쪽’으로 끌어당긴다. 따라서 A층이 존재하면 X에서의 아래방향 중력가속도는 감소한다.
그러므로 A층을 제거하면 X에서 위쪽으로 당기는 성분이 사라져, X에서의 아래방향 중력가속도는 증가한다.
이제 높이 \(h_1\)과 \(h_2\)에서의 부게 이상을 각각 \(g_1, g_2\)라 하자. 자료에 따라 프리에어 보정은 높이 \(h\)에서 \(\mathrm{FAC}\cdot h\)만큼(양의 상수 \(\mathrm{FAC}\)) 포함된다.
또한 밀도 \(\rho\), 두께 \(T\)인 무한 수평층이 만드는 인력(부게 효과)은
$$ 2\pi G\rho T $$
이다. 기준면(높이 0)에서 ‘위가 빈 공간’이라고 가정해 계산한 이상이 \(g_0\)이므로, 실제로는 기준면 위에 존재하는 층들의 부게 효과를 더해주면 된다.
그림에서 \(h_2\)는 B층 내부의 측정 높이, \(h_1\)은 A층 내부의 측정 높이이며, A층의 두께(해당 구간)는 \(\Delta h=h_1-h_2\), B층의 두께(기준면부터 경계까지)는 \(h_2\)로 해석된다. 그러면
$$ g_2=g_0+\mathrm{FAC}\,h_2+2\pi G\,\rho_2\,h_2 $$
$$ g_1=g_0+\mathrm{FAC}\,h_1+2\pi G\left(\rho_2\,h_2+\rho_1\,(h_1-h_2)\right) $$
따라서 \(\Delta g=g_1-g_2\), \(\Delta h=h_1-h_2\)를 이용하면
$$ \Delta g =\mathrm{FAC}(h_1-h_2)+2\pi G\,\rho_1\,(h_1-h_2) =\left(\mathrm{FAC}+2\pi G\rho_1\right)\Delta h $$
이를 \(\rho_1\)에 대해 정리하면
$$ \rho_1=\frac{1}{2\pi G}\left(\frac{\Delta g}{\Delta h}-\mathrm{FAC}\right) $$
이 식이 요구한 \(\Delta g,\ \Delta h\)를 포함한 A층의 밀도 표현식이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>