정답
\(R_1=6300\ \text{m},\ R_2=6300\ \text{m}\). A 지점의 완전 부게 이상은 음(−)이다.
출제 의도
지각 평형(에어리 등정설)에서 지표 하중(지각 상부 하중체)의 높이와 지각 뿌리의 깊이 관계를 밀도 차로부터 유도하여 뿌리 깊이를 계산하고, 보정 후 남는 중력 이상(완전 부게 이상)의 부호를 ‘보상 뿌리의 질량 결핍’ 관점에서 판단하는지를 평가한다.
풀이 과정
지각 평형에서는 같은 보상 깊이(지각 뿌리의 바닥)에서 좌우 기둥의 무게(또는 그에 비례하는 질량)가 같다고 본다. 기준 지역(해수면 높이 0 m, 지각 두께 \(D\))과 하중이 있는 지역(최고 높이 \(H\), 뿌리 깊이 \(R\))을 보상 깊이 \(D+R\)까지 비교한다.
기준 기둥(높이 0 m)은 위에서부터 지각 \(\rho_1\)이 \(D\)만큼, 그 아래 보상 깊이까지는 맨틀 \(\rho_2\)가 \(R\)만큼 존재한다. 하중이 있는 기둥은 지각이 두꺼워져 보상 깊이까지 전부 지각 \(\rho_1\)로 채워진다.
$$ \rho_1(D+H+R)=\rho_1D+\rho_2R $$
$$ \rho_1H=(\rho_2-\rho_1)R $$
$$ R=\frac{\rho_1}{\rho_2-\rho_1}H =\frac{2800}{3200-2800}H =\frac{2800}{400}H =7H $$
또한 자료에서 두 경우 모두 \(H_1+R_1=H_2+R_2=7200\ \text{m}\)이므로, \(H+R=H+7H=8H\)를 이용하면 된다.
$$ 8H=7200 \Rightarrow H=900\ \text{m} $$
$$ R=7H=7\times 900=6300\ \text{m} $$
따라서 \(R_1=6300\ \text{m},\ R_2=6300\ \text{m}\)이다.
A 지점의 완전 부게 이상은 ‘지형(산체)의 질량 효과를 보정으로 제거한 뒤’ 남는 이상이므로, 주로 지각 뿌리(맨틀 \(\rho_2\)가 지각 \(\rho_1\)로 치환된 부분)의 질량 결핍 효과가 반영된다. 보상 뿌리는 주변보다 평균 밀도가 작아 중력을 감소시키는 방향으로 작용하므로 A 지점의 완전 부게 이상은 음(−)이 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>