정답
해수면은 A가 B보다 \(0.10\ \text{m}\) 높고, 상층 유속 방향은 북쪽(북향)이며, 경계면 기울기는 \(\tan\theta \approx 2.0\times 10^{-4}\)이다.
출제 의도
지형류 평형에서 해수면 기울기(수평 압력경도)와 유속의 관계를 이용해 해수면 높이차와 흐름 방향을 결정하고, 두 층의 속도 차(연직 시어)와 밀도 차로부터 경계면 기울기를 구하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
동쪽을 \(x\) 양(+)의 방향으로 두고, 지형류에서 남북 성분 \(v\)는 해수면 높이 \(\eta\)의 동서 기울기와 다음 관계를 갖는다.
$$ fv=g\frac{\partial \eta}{\partial x} $$
상층의 유속 크기 \(V_1=0.2\ \text{m s}^{-1}\)를 \(v\)로 두면, \(g=10\ \text{m s}^{-2}\), \(f=-5.0\times 10^{-5}\ \text{s}^{-1}\)이므로 \(\dfrac{\partial \eta}{\partial x}\)를 계산한다.
$$ \frac{\partial \eta}{\partial x}=\frac{fV_1}{g} =\frac{(-5.0\times 10^{-5})(0.2)}{10} =-1.0\times 10^{-6} $$
A에서 B까지 거리는 \(\Delta x=100\ \text{km}=1.0\times 10^{5}\ \text{m}\)이므로 해수면 높이차는 \(\Delta \eta=\eta_B-\eta_A\)로
$$ \eta_B-\eta_A=\frac{\partial \eta}{\partial x}\Delta x =(-1.0\times 10^{-6})(1.0\times 10^{5}) =-0.10\ \text{m} $$
따라서 \(\eta_A-\eta_B=0.10\ \text{m}\)로, A가 B보다 \(0.10\ \text{m}\) 높다. 또한 위 식에서 \(\dfrac{\partial\eta}{\partial x}<0\), \(f<0\)이므로 \(v>0\)가 되어(북쪽이 \(+\)라고 두면) 상층 흐름은 북향이다.
다음으로 두 층의 경계면 기울기는(하층이 \(V_2=0\)이므로) 상층과 하층의 지형류 차이가 ‘감소중력’ \(g’\)에 의해 결정되는 관계로 나타낼 수 있다.
$$ f(V_1-V_2)=g’\tan\theta,\qquad g’=g\frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_2} $$
\(\rho_1=1020.0\), \(\rho_2=1025.1\ \text{kg m}^{-3}\)이므로
$$ g’=10\cdot\frac{1025.1-1020.0}{1025.1} =10\cdot\frac{5.1}{1025.1} \approx 4.98\times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2} $$
그리고 \(V_2=0\)을 대입하여 \(\tan\theta\)의 크기를 구하면
$$ \tan\theta=\frac{|f|(V_1-V_2)}{g’} =\frac{(5.0\times 10^{-5})(0.2)}{4.98\times 10^{-2}} \approx 2.0\times 10^{-4} $$
따라서 경계면의 기울기는 \(\tan\theta \approx 2.0\times 10^{-4}\)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>