정답
\(T(z)=\dfrac{z+1}{z-1}\), 거리의 최솟값은 \(1\)이다.
출제 의도
세 점의 상을 이용하여 일차분수변환(모비우스 변환)의 식을 결정하고, 그 변환이 단위원을 어떤 직선(또는 원)으로 보내는지 식으로 구한 뒤, 주어진 점과 그 집합 사이의 최단 거리를 계산하는 문제이다.
풀이 과정
일차분수변환 \(T\)는 일반적으로
\[ T(z)=\frac{az+b}{cz+d}\qquad (ad-bc\neq 0) \]
꼴로 쓸 수 있다. 조건 \(T(0)=-1\)에서
\[ \frac{b}{d}=-1 \Rightarrow b=-d. \]
상수배는 의미가 없으므로 \(d=1\)로 두면 \(b=-1\)이다. 이제 \(T(i)=-i\)를 이용하면
\[ T(i)=\frac{ai-1}{ci+1}=-i. \]
양변에 \(ci+1\)을 곱하면
\[ ai-1=-i(ci+1)=c-i. \]
따라서
\[ c=ai-1+i=i(a+1)-1. \]
또 \(T(2)=3\)에서
\[ \frac{2a-1}{2c+1}=3 \quad\Rightarrow\quad 2a-1=3(2c+1). \]
위 식에 \(c=i(a+1)-1\)을 대입한다.
\[ 2a-1=3\{2i(a+1)-1\} =6i(a+1)-3 \]
\[ \Rightarrow (2-6i)a + (2-6i)=0 \Rightarrow (2-6i)(a+1)=0 \Rightarrow a=-1. \]
그러면
\[ b=-1,\quad c=i(a+1)-1=i(0)-1=-1,\quad d=1. \]
따라서
\[ T(z)=\frac{-z-1}{-z+1} =\frac{z+1}{z-1}. \]
이제 집합
\[ W=\{T(z)\mid |z|=1\} \]
를 구한다. \(w=T(z)\)라 하고 역변환을 구하면
\[ w=\frac{z+1}{z-1} \quad\Rightarrow\quad w(z-1)=z+1 \quad\Rightarrow\quad z=\frac{w+1}{w-1}. \]
조건 \(|z|=1\)은
\[ \left|\frac{w+1}{w-1}\right|=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{(w+1)(\overline w+1)}{(w-1)(\overline w-1)}=1. \]
분모, 분자를 전개하면
\[ w\overline w + w + \overline w +1 = w\overline w – w – \overline w +1 \]
이므로
\[ 2(w+\overline w)=0 \quad\Rightarrow\quad w+\overline w=0 \quad\Rightarrow\quad \Re(w)=0. \]
따라서 \(W\)는 실수부가 0인 점, 즉 허수축 위의 점(과 \(\infty\))의 집합이다.
\[ W=\{iy\mid y\in\mathbb{R}\}\cup\{\infty\}. \]
이제 복소수 \(1+i\)와 \(W\)의 거리의 최솟값을 구한다. 허수축은 직선 \(x=0\)이므로, 점 \((1,1)\)에서 이 직선까지의 최소 거리는 수직 거리 \(1\)이다. 좀 더 직접적으로, \(w=it\in W\)라 두면 거리 제곱은
\[ |1+i-it|^2 = |1+i(1-t)|^2 = 1^2 + (1-t)^2. \]
이를 \(t\)에 대해 최소화하면
\[ f(t)=1+(1-t)^2 \]
이므로, 최소값은 \((1-t)^2\)가 최소일 때, 즉 \(t=1\)에서 얻어지고 그때의 거리 제곱은 \(1\)이다. 따라서 최소 거리는
\[ \min_{w\in W}|(1+i)-w|=1. \]
이때의 \(w=i\)가 실제로 \(W\)에 속하는지 확인해 보면, 방정식
\[ \frac{z+1}{z-1}=i \]
을 풀면 \(z=-i\)이고 \(|z|=1\)이므로 \(w=i\in W\)이다.
결론적으로,
\[ T(z)=\frac{z+1}{z-1},\qquad \min_{w\in W}|(1+i)-w|=1. \]
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>