정답
\(V(Y)=9,\quad a=\dfrac{7}{3}\)
출제 의도
표준정규분포를 따르는 독립 확률변수들의 선형결합의 분산을 계산하고, 그 합이 정규분포를 이룸을 이용하여 확률을 표준화한 뒤, 정규분포의 대칭성과 분포함수 \(\Phi\)의 역함수를 활용하는지 평가하는 문제이다.
풀이 과정
주어진 확률변수는 모두 \(X_i \sim N(0,1)\) 이고 서로 독립이다. 확률변수 \(Y\)는
\[ Y=\sum_{i=1}^{9}(-1)^{i+1}X_i = X_1-X_2+X_3-X_4+X_5-X_6+X_7-X_8+X_9 \]
과 같다. 각 \(X_i\)는 평균 0, 분산 1인 독립 변수이므로, 선형결합의 분산은 계수 제곱의 합이다.
\[ V(Y)=\sum_{i=1}^{9}(-1)^{2(i+1)}V(X_i) =\sum_{i=1}^{9}1\cdot 1 =9. \]
또한 평균은 0이므로 \(Y \sim N(0,9)\) 이다. 따라서
\[ \frac{Y}{3} \sim N(0,1) \]
이 된다.
문제에서
\[ P(Y\ge -7) = P(X_1\le a) \]
를 만족하는 \(a\)를 구하고자 한다. 먼저 왼쪽을 표준화하면
\[ P(Y\ge -7) = P\left(\frac{Y}{3}\ge -\frac{7}{3}\right) = 1-\Phi\!\left(-\frac{7}{3}\right) = \Phi\!\left(\frac{7}{3}\right) \]
이다. 오른쪽은 \(X_1\sim N(0,1)\) 이므로
\[ P(X_1\le a)=\Phi(a) \]
가 된다. 두 확률이 같으려면
\[ \Phi(a)=\Phi\!\left(\frac{7}{3}\right) \]
이어야 하고, 정규분포의 분포함수 \(\Phi\)는 증가함수이므로
\[ a=\frac{7}{3} \]
이다.
정리하면 \(Y\)의 분산은 \(V(Y)=9\), 실수 \(a\)는 \(a=\dfrac{7}{3}\) 이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>