정답
\(\displaystyle \int_{C} \overline{z}\,dz-\frac{1}{z}\,d\overline{z}=2\pi i\)
출제 의도
복소수의 켤레와 미분 \(dz, d\overline{z}\)의 관계를 이용하여, 단위원을 매개변수화해서 복소선적분을 직접 계산하는 능력을 확인하는 문제이다.
풀이 과정
곡선 \(C\)는 중심이 원점이고 반지름이 1인 원을 시계반대방향으로 한 바퀴 도는 경로이다.
이를 매개변수 \(t\)로 나타내면 \[ z(t)=e^{it}\quad (0\le t\le 2\pi) \] 이 되고, 따라서 \[ dz = i e^{it}\,dt,\qquad \overline{z(t)} = e^{-it},\qquad d\overline{z} = -i e^{-it}\,dt \] 이다.
주어진 적분을 매개변수 \(t\)로 바꾸면
$$ \int_C \overline{z}\,dz – \frac{1}{z}\,d\overline{z} = \int_0^{2\pi} \left( \overline{z(t)}\,\frac{dz}{dt} – \frac{1}{z(t)}\,\frac{d\overline{z}}{dt} \right) dt $$
각 항을 대입하면
\[ \overline{z(t)}\,\frac{dz}{dt} = e^{-it}\cdot i e^{it} = i, \] \[ \frac{1}{z(t)}\,\frac{d\overline{z}}{dt} = e^{-it}\cdot(-i e^{-it}) = -i e^{-2it}. \]
따라서 적분은
$$ \int_0^{2\pi} \Big(i -(-i e^{-2it})\Big)\,dt = \int_0^{2\pi} \big(i + i e^{-2it}\big)\,dt = i\int_0^{2\pi} (1+e^{-2it})\,dt $$
여기서 \[ \int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi,\qquad \int_0^{2\pi} e^{-2it}\,dt = \left[\frac{e^{-2it}}{-2i}\right]_0^{2\pi} = 0 \] 이므로
$$ \int_C \overline{z}\,dz – \frac{1}{z}\,d\overline{z} = i\cdot 2\pi = 2\pi i. $$
따라서 적분값은 \(2\pi i\)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>