정답
\([E:\mathbb{Q}]=6\)인 중간체 \(E\)의 개수는 \(7\)개이며, 또한 \(F=K^{\mathbb{Z}_2\times\{e\}}\)를 택하면 \(F/\mathbb{Q}\)는 갈루아 확대로서 \(G(F/\mathbb{Q})\cong S_3\)가 된다.
출제 의도
갈루아 대응을 이용해 중간체의 차수 조건을 부분군의 크기 조건으로 바꾸고, 직접곱 군에서 해당 크기의 부분군(특히 원소의 위수 2에 해당하는 부분군)을 세는 능력을 평가한다. 또한 중간체가 갈루아 확장이 되기 위한 ‘정규부분군’ 조건과 몫군이 갈루아군이 된다는 사실을 적용할 수 있는지를 본다.
풀이 과정
\(K/\mathbb{Q}\)가 갈루아 확장이고 \(G=\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}_2\times S_3\)이므로 \(|G|=2\cdot 6=12\)이다. 갈루아 대응에 의해 중간체 \(E\)는 부분군 \(H=\mathrm{Gal}(K/E)\le G\)와 일대일 대응하며, 차수는 \([E:\mathbb{Q}]=|G|/|H|\)로 주어진다.
\([E:\mathbb{Q}]=6\)이려면
$$ 6=\frac{|G|}{|H|}=\frac{12}{|H|} \quad\Rightarrow\quad |H|=2 $$
이므로, 문제는 \(G=\mathbb{Z}_2\times S_3\)에서 위수가 \(2\)인 부분군의 개수를 세는 것으로 바뀐다. 위수가 2인 부분군은 곧 “위수 2인 원소 하나가 생성하는 부분군”이며, 서로 다른 부분군은 서로 다른 비자명 원소를 갖기 때문에 ‘위수 2인 원소의 개수’와 정확히 같다.
\(\mathbb{Z}_2=\{0,1\}\) (덧셈군)이라 하자. \(\mathbb{Z}_2\times S_3\)의 원소 \((a,\sigma)\)의 위수는 \(\mathrm{lcm}(\mathrm{ord}(a),\mathrm{ord}(\sigma))\)이다. \(S_3\)에서 위수 2인 원소는 전치(transposition) 3개뿐이다. 따라서 위수 2인 원소는 다음뿐이다.
$$ (1,e)\ \text{(1개)},\qquad (0,\tau)\ \text{(전치 }\tau\text{ 3개)},\qquad (1,\tau)\ \text{(전치 }\tau\text{ 3개)}. $$
즉 위수 2인 원소는 총
$$ 1+3+3=7 $$
개이고, 각각이 서로 다른 크기 2의 부분군을 생성한다. 따라서 \(|H|=2\)인 부분군이 7개이며, 이에 대응하는 \([E:\mathbb{Q}]=6\)인 중간체 \(E\)도 7개이다.
이제 \(F\subset K\)가 \(\mathbb{Q}\) 위의 갈루아 확장이고 \(G(F/\mathbb{Q})\cong S_3\)가 되는 \(F\)의 존재를 보인다. 곱군 \(G=\mathbb{Z}_2\times S_3\)에서
$$ H=\mathbb{Z}_2\times\{e\} $$
를 취하자. 이는 \(G\)의 직접인자이므로 정규부분군이다. 갈루아 대응에서 \(F=K^H\) (즉 \(H\)의 고정체)로 두면 \(F/\mathbb{Q}\)가 갈루아 확장이 되고, 그 갈루아군은 몫군과 동형이다:
$$ \mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})\cong G/H. $$
그런데 직접곱의 표준 성질로
$$ (\mathbb{Z}_2\times S_3)/(\mathbb{Z}_2\times\{e\})\cong S_3 $$
이므로, 원하는 \(F\)가 존재하며 실제로 위에서 정의한 \(F=K^{\mathbb{Z}_2\times\{e\}}\)가 조건을 만족한다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>