정답
\(f(z)=e^{-z}\)이고, \(\displaystyle \int_C f\!\left(\frac1z\right)\,dz=-2\pi i\)이다.
출제 의도
실수부가 주어진 전해석함수에서 코시-리만 방정식으로 허수부를 결정하고, 초기조건으로 상수를 확정하는 능력을 본다. 또한 \(f(1/z)\)의 원점에서의 로랑 전개(또는 유수)를 이용해 단위원 적분을 계산할 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
\(z=x+iy\)에서 \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)라 두면, 주어진 실수부는 \(u(x,y)=e^{-x}\cos y\)이다. \(f\)가 전해석함수이므로 \(u,v\)는 코시-리만 방정식을 만족한다.
$$ u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x. $$
\(u_x, u_y\)를 계산하면
$$ u_x=-e^{-x}\cos y,\qquad u_y=-e^{-x}\sin y. $$
따라서 \(v_y=u_x=-e^{-x}\cos y\)이므로 \(y\)에 대해 적분하여
$$ v(x,y)=-e^{-x}\sin y+g(x) $$
로 쓸 수 있다. 이제 \(v_x\)를 구하면
$$ v_x=e^{-x}\sin y+g'(x). $$
코시-리만의 두 번째 식 \(u_y=-v_x\)는 \(v_x=-u_y=e^{-x}\sin y\)를 요구하므로 \(g'(x)=0\), 즉 \(g(x)=C\) (상수)이다.
초기조건 \(f(0)=1\)을 사용하면 \(x=0,y=0\)에서 \(u(0,0)=1\), \(v(0,0)=C\)이므로 \(1+iC=1\)에서 \(C=0\)이다. 따라서
$$ v(x,y)=-e^{-x}\sin y $$
이고
$$ f(z)=e^{-x}\cos y+i\big(-e^{-x}\sin y\big) =e^{-x}(\cos y-i\sin y)=e^{-x}e^{-iy}=e^{-(x+iy)}=e^{-z}. $$
이제 단위원 \(C:|z|=1\)을 반시계방향으로 한 바퀴 도는 경우
$$ \int_C f\!\left(\frac1z\right)\,dz=\int_C e^{-1/z}\,dz $$
를 계산한다. 원점에서의 로랑 전개는
$$ e^{-1/z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{z^n}. $$
따라서 \(\dfrac{1}{z}\) 항의 계수(유수)는 \(n=1\)에서 \(-1\)이므로
$$ \operatorname{Res}\big(e^{-1/z},0\big)=-1. $$
유수정리에 의해
$$ \int_C e^{-1/z}\,dz=2\pi i\cdot(-1)=-2\pi i $$
가 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>