정답
중간체 \(I\) 에 해당하는 곡선은 \( \text{㉢} \) 이고, 이때 메커니즘 (가)에 대해
\[ \frac{d[P]}{dt} = \frac{k_1k_3}{k_2+k_3}[R] \]
이다.
출제 의도
시간에 따른 농도 곡선의 모양으로 중간체의 특성을 파악해 적절한 반응 메커니즘을 선택하고, 선택한 메커니즘에 대해 중간체에 대한 정상상태(steady state) 가정을 사용하여 생성물의 속도식을 반응 속도 상수와 반응물 농도로만 표현하는 능력을 묻는 문제이다.
풀이 과정
그래프에서 ㉠은 처음 농도가 크고 계속 감소하므로 반응물 \(R\) 에, ㉣은 처음 0에서 점차 증가하여 일정 값에 접근하므로 생성물 \(P\) 에 해당한다.
반면 ㉢은 처음 0에서 급격히 증가하여 어떤 최대값을 가진 뒤 다시 감소하여 거의 0에 가까워지는 ‘봉우리’ 형태를 보인다. 이는 반응 중 일시적으로만 존재하는 중간체의 전형적인 농도 변화이므로 ㉢이 중간체 \(I\) 에 해당한다.
이러한 농도 변화는 \(R \rightleftarrows I\) 의 빠른 평형과 \(I \to P\) 의 느린 단계가 있는 메커니즘 (가)에 잘 부합한다. 메커니즘 (가)을 식으로 쓰면
\[ R \xrightleftharpoons[k_2]{k_1} I \xrightarrow{k_3} P \]
이다. 각 종에 대한 속도식은
\[ \frac{d[R]}{dt} = -k_1[R] + k_2[I], \qquad \frac{d[I]}{dt} = k_1[R] – (k_2 + k_3)[I], \qquad \frac{d[P]}{dt} = k_3[I]. \]
중간체 \(I\) 는 항상 작은 농도로 존재하므로 정상상태 가정을 적용한다.
\[ \frac{d[I]}{dt} \approx 0 \quad\Rightarrow\quad k_1[R] – (k_2 + k_3)[I] \approx 0. \]
따라서 \(I\) 의 농도는
\[ [I] \approx \frac{k_1}{k_2 + k_3}[R] \]
가 되고, 이를 \(\displaystyle \frac{d[P]}{dt} = k_3[I]\) 에 대입하면
\[ \frac{d[P]}{dt} = k_3[I] \approx k_3 \frac{k_1}{k_2 + k_3}[R] = \frac{k_1k_3}{k_2 + k_3}[R] \]
을 얻는다. 이것이 선택한 메커니즘 (가)에 부합하는 생성물의 속도식이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>