정답
\(J=2\) 상태의 분자에 허용되는 회전 라만 전이는 \(\Delta J = -2,\,0,\,+2\) 이므로 \[ J=2\longrightarrow J=0,\quad J=2\longrightarrow J=2,\quad J=2\longrightarrow J=4 \] 이다. 또한 \[ \frac{N_2}{N_1} =\frac{5}{3}\exp\!\left(-\frac{4hc\tilde{B}}{k_B T}\right) \] 이다.
출제 의도
이원자 분자의 회전 라만 전이에 대한 선택 규칙 \(\Delta J=0,\pm2\) 를 알고 있는지, 그리고 볼츠만 분포와 회전 에너지식을 이용해 서로 다른 회전 상태의 상대적 점유수를 계산할 수 있는지를 묻는 문제이다.
풀이 과정
회전 라만 전이의 선택 규칙은 \(\Delta J = 0, \pm 2\) 이다. 따라서 초기 상태가 \(J=2\) 일 때 가능한 최종 상태는
\[ J’=2-2=0,\quad J’=2,\quad J’=2+2=4 \]
이므로 전이들을 양자수의 변화로 쓰면
\[ J=2\rightarrow 0,\quad J=2\rightarrow 2,\quad J=2\rightarrow 4 \]
가 된다.
이제 회전 에너지와 볼츠만 분포를 이용해 \(N_2/N_1\) 을 구한다. 에너지식은
\[ E_J = hc\tilde{B}J(J+1)\qquad (J=0,1,2,\dots) \]
이고, 볼츠만 분포는
\[ N_J = N_t \frac{(2J+1)e^{-\beta E_J}} {\displaystyle\sum_J (2J+1)e^{-\beta E_J}}, \qquad \beta = \frac{1}{k_B T} \]
이므로 비 \(N_2/N_1\) 은 분모가 소거되어
\[ \frac{N_2}{N_1} = \frac{(2\cdot2+1)e^{-\beta E_2}} {(2\cdot1+1)e^{-\beta E_1}} = \frac{5}{3}e^{-\beta(E_2-E_1)}. \]
에너지 차이는
\[ E_2 – E_1 = hc\tilde{B}\bigl[2\cdot3 – 1\cdot2\bigr] = hc\tilde{B}(6-2) = 4hc\tilde{B} \]
이므로
\[ \frac{N_2}{N_1} = \frac{5}{3}\exp\!\bigl(-\beta\cdot4hc\tilde{B}\bigr) = \frac{5}{3}\exp\!\left(-\frac{4hc\tilde{B}}{k_B T}\right) \]
을 얻는다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>