정답
\(\displaystyle \frac{I}{I_0}=1+\frac{2mr^{2}}{MR^{2}}, \qquad \frac{K}{K_0}=\frac{1}{1+\dfrac{2mr^{2}}{MR^{2}}}\)
출제 의도
각속도로 회전하는 강체계에서 질량 분포가 변할 때, 관성 모멘트의 변화와 외부 토크가 0일 때의 각운동량 보존을 이용하여 최종 각속도와 운동 에너지의 변화를 구하는 문제이다. 균일한 원판의 관성 모멘트 공식을 활용하는지가 핵심이다.
풀이 과정
(가)에서 질량이 균일한 원통(원판)의 질량은 \(M\), 반지름은 \(R\), 각속도는 \(\omega_0\)이다. 물체 \(A\)는 질량 \(m\)인 점입자로서 회전축 위(중심)에 있으므로, 이 물체의 관성 모멘트는 0으로 본다.
균일한 원판의 관성 모멘트는 자료에 의해
$$ I_{\text{원통}} = \frac{1}{2} M R^2 $$
이므로 (가)에서의 전체 관성 모멘트는
$$ I_0 = \frac{1}{2} M R^2 $$
이고, 운동 에너지는
$$ K_0 = \frac{1}{2} I_0 \omega_0^2 $$
이다.
(나)에서는 물체 \(A\)가 반지름 \(r\)인 얇은 균일 원환(얇은 링)이 되어, 질량 \(m\)이 반지름 \(r\)에 분포한다. 얇은 원환의 관성 모멘트는
$$ I_{\text{원환}} = mr^2 $$
이므로, 이때 전체 관성 모멘트는
$$ I = I_{\text{원통}} + I_{\text{원환}} = \frac{1}{2} M R^2 + m r^2 $$
따라서 관성 모멘트의 비는
$$ \frac{I}{I_0} = \frac{\frac{1}{2}MR^2 + mr^2}{\frac{1}{2}MR^2} = 1+\frac{2mr^2}{MR^2} $$
(가)에서 (나)로 변하는 동안 외부 알짜 토크가 0이므로, 계의 각운동량은 보존된다.
$$ I_0 \omega_0 = I\omega $$
따라서 최종 각속도는
$$ \omega = \frac{I_0}{I}\,\omega_0 $$
(나)에서의 운동 에너지는
$$ K = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2}I\left(\frac{I_0}{I}\omega_0\right)^2 = \frac{1}{2}\frac{I_0^2}{I}\omega_0^2 $$
따라서 운동 에너지의 비는
$$ \frac{K}{K_0} = \frac{\dfrac{1}{2}\dfrac{I_0^2}{I}\omega_0^2}{\dfrac{1}{2}I_0\omega_0^2} = \frac{I_0}{I} = \frac{1}{\dfrac{I}{I_0}} = \frac{1}{1+\dfrac{2mr^2}{MR^2}} $$
정리하면
$$ \frac{I}{I_0}=1+\frac{2mr^{2}}{MR^{2}},\qquad \frac{K}{K_0}=\frac{1}{1+\dfrac{2mr^{2}}{MR^{2}}} $$
가 된다.