정답
B가 이동한 거리는 \(\displaystyle \frac{3v_0^2}{2g}\), B가 \(y=0\)에 도달하는 순간의 속력은 \(\displaystyle \sqrt{v_0^2+2gH}\), \(y=h\)에서의 속력 조건을 만족시키는 높이 \(h\)는 \(\displaystyle h=\frac{3v_0^2-2gH}{6g}\) 이다.
출제 의도
연직 상하 방향으로 던져진 두 물체의 운동을 등가속도 운동 공식으로 기술하고, 최고점에 도달하는 시간, 일정 위치에서의 속력과 위치를 각각 시간과 위치에 대한 식으로 구할 수 있는지를 점검하는 문제이다. 한 물체의 이동 시간 동안 다른 물체의 이동 거리, 위치에 따른 속력 관계를 함께 다루는 것이 핵심이다.
풀이 과정
위쪽을 양의 방향, 중력가속도는 \(-g\)로 잡는다. 물체 A는 \(y=0\)에서 초기 속도 \(v_0\)로 위로 던져지고, 물체 B는 \(y=H\)에서 초기 속도 \(-v_0\)로 아래로 던져진다.
먼저 A가 최고점에 도달할 때까지 걸리는 시간을 구한다. 속도 식은 \(v_A = v_0 – gt\) 이고, 최고점에서 \(v_A = 0\) 이므로
$$ 0 = v_0 – gt_1 \quad\Rightarrow\quad t_1 = \frac{v_0}{g} $$
이 시간 동안 B의 운동을 본다. B의 위치는
$$ y_B(t) = H – v_0 t – \frac{1}{2}gt^2 $$
이므로 \(t=t_1\)일 때 B가 이동한 거리는
$$ \Delta y_B = H – y_B(t_1) = H – \left( H – v_0 t_1 – \frac{1}{2}gt_1^2 \right) = v_0 t_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 $$
\(t_1 = \dfrac{v_0}{g}\)을 대입하면
$$ \Delta y_B = v_0\cdot\frac{v_0}{g} +\frac{1}{2}g\cdot\frac{v_0^2}{g^2} = \frac{v_0^2}{g}+\frac{v_0^2}{2g} = \frac{3v_0^2}{2g} $$
따라서 A가 최고점에 도달하는 동안 B가 이동한 거리는 \(\displaystyle \frac{3v_0^2}{2g}\)이다.
다음으로 B가 \(y=0\)에 도달하는 순간의 속력을 구한다. 위치 변화는 \(\Delta y = 0-H = -H\)이고, 가속도는 \(-g\)이다. 등가속도 운동 공식 \(v^2 = v_0^2 + 2a\Delta y\)를 사용하면
$$ v_B^2 = (-v_0)^2 + 2(-g)(-H) = v_0^2 + 2gH $$
이 순간 B는 아래로 운동하므로 속도의 크기(속력)는
$$ |v_B| = \sqrt{v_0^2+2gH} $$
이다.
이제 \(y=h\)에서 두 물체의 속력을 비교한다. 위치에 따른 속도 식을 사용하면, A에 대해 초기 위치 \(0\), 초기 속도 \(v_0\)이므로
$$ v_A^2 = v_0^2 – 2gh $$
B는 초기 위치 \(H\), 초기 속도 \(-v_0\)이므로 위치가 \(h\)일 때
$$ v_B^2 = v_0^2 – 2g(h-H) = v_0^2 + 2g(H-h) $$
문제에서 \(y=h\)에서의 속력은 A가 B의 \(\dfrac{1}{2}\)배라고 하였으므로
$$ |v_A| = \frac{1}{2}|v_B| \quad\Rightarrow\quad v_A^2 = \frac{1}{4}v_B^2 $$
따라서
$$ v_0^2 – 2gh = \frac{1}{4}\left( v_0^2 + 2g(H-h) \right) $$
양변에 4를 곱하면
$$ 4v_0^2 – 8gh = v_0^2 + 2gH – 2gh $$
이를 정리하면
$$ 3v_0^2 = 2gH + 6gh = 2g(H+3h) $$
따라서 \(h\)는
$$ h = \frac{3v_0^2 – 2gH}{6g} $$
이 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>