정답
모든 양의 실수 \(L\)에 대하여 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\) 는 구간 \([-L,L]\) 에서 고른수렴한다. 또한 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\) 는 \(\mathbb{R}\) 전체에서 연속이다.
출제 의도
항별 함수급수의 수렴성을 판별하고, 균등수렴 여부를 증명할 수 있는지, 또한 각 항이 연속함수일 때 국소적 균등수렴이 전체에서의 연속성을 보장함을 이해하는지를 묻는다.
풀이 과정
함수는 \[ f_n(x)=\frac{x^4+\sqrt{n}\,x^3}{n(x^2+2\sqrt{n}\,x+2n)} \] 이다.
먼저 고정된 \(L>0\) 에 대해 \(|x|\le L\) 이라 하자. 분자를 절댓값으로 평가하면
\[ |x^4+\sqrt{n}\,x^3| \le |x|^4+\sqrt{n}\,|x|^3 \le L^4+\sqrt{n}\,L^3 \qquad(|x|\le L) \]
분모는 \[ n(x^2+2\sqrt{n}\,x+2n) \ge n\big(2n-2\sqrt{n}|x|\big) \ge n(2n-2\sqrt{n}L). \]
\(n\) 이 충분히 크면 \(2n-2\sqrt{n}L\ge n\) 이 되도록 할 수 있다. 예를 들어 \(n\ge L^2\) 이면
\[ 2n-2\sqrt{n}L =2n\left(1-\frac{\sqrt{n}L}{n}\right) =2n\left(1-\frac{L}{\sqrt{n}}\right) \ge 2n\left(1-\frac{L}{L}\right)=0, \]
더 나아가 \(n\ge 2L^2\) 이면 \(2n-2\sqrt{n}L\ge n\) 이 되어
\[ n(x^2+2\sqrt{n}x+2n)\ge n\cdot n=n^2 \qquad(n\ge 2L^2,\ |x|\le L) \]
따라서 \(n\ge 2L^2\) 에 대해
\[ |f_n(x)| \le \frac{L^4+\sqrt{n}\,L^3}{n^2} = \frac{L^4}{n^2}+\frac{L^3}{n^{3/2}} \le \frac{L^4+L^3}{n^{3/2}} \qquad(|x|\le L) \]
이제
\[ M_n := \frac{C_L}{n^{3/2}},\qquad C_L:=L^4+L^3 \]
이라 두면 \(n\ge 2L^2\) 에서는 \(|f_n(x)|\le M_n\) 이다. \(n<2L^2\) 인 유한 개의 항들에 대해서는 \([-L,L]\) 에서 연속이므로 최댓값을 가지며, 적당히 큰 상수 \(\tilde C_L\ge C_L\) 를 택하면 모든 \(n\in\mathbb{N}\), \(|x|\le L\) 에 대해
\[ |f_n(x)|\le \frac{\tilde C_L}{n^{3/2}} \]
가 성립한다.
한편 p-급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}} \] 는 수렴한다. 따라서 Weierstrass의 M-검정에 의해, 모든 \(L>0\) 에 대해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\) 는 구간 \([-L,L]\) 에서 절대수렴하며 고른수렴한다.
또한 각 \(f_n(x)\) 는 유리함수(분모가 0이 되지 않음)이므로 \(\mathbb{R}\) 에서 연속이다. 그리고 위에서 보았듯, 임의의 유계구간 \([-L,L]\) 에 대해 급수가 고른수렴하므로 모든 콤팩트 집합에서 균등수렴한다(국소 균등수렴, locally uniform convergence).
따라서 함수항 급수의 극한 함수 \[ S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) \] 는 임의의 점 \(x_0\in\mathbb{R}\) 에 대해 \(x_0\) 를 포함하는 어떤 구간 \([-L,L]\) 에서 연속함수열의 균등극한이므로 그 점에서 연속이다. 이것이 모든 \(x_0\) 에 대해 성립하므로,
\[ \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) \]
는 \(\mathbb{R}\) 전체에서 연속인 함수가 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>