정답
\(\lvert\operatorname{Im}\varphi\rvert = 20,\quad \lvert\ker\varphi\rvert = 26\)
출제 의도
사이클릭 군의 부분군 구조(부분군의 개수 ↔ 약수의 개수)를 이용하여 상(이미지)의 크기를 결정하고, 군 준동형 정리를 이용해 핵의 크기를 구하는 문제이다.
풀이 과정
우선 공역은 \(\mathbb{Z}_{200}\)이고, 이는 사이클릭 군이다. 따라서 임의의 부분군도 사이클릭이며, 그 부분군의 서수(위수)를 \(m\)이라 하면, 그 부분군의 부분군의 개수는 \(m\)의 양의 약수의 개수와 같다.
문제에서 \(\operatorname{Im}(\varphi)\)의 부분군이 6개라 했으므로, \(\operatorname{Im}(\varphi)\)의 위수 \(m\)에 대해
\[ d(m)=6 \]
을 만족해야 한다. 여기서 \(d(m)\)은 \(m\)의 양의 약수의 개수이다.
\(d(m)=6\)이 되려면 \(m\)의 소인수분해는
\[ m=p^5\quad\text{또는}\quad m=p^2q\quad(p,q\ \text{서로 다른 소수}) \]
꼴이어야 한다. 또한 \(\operatorname{Im}(\varphi)\subset \mathbb{Z}_{200}\) 이므로 \(m\mid 200\)이어야 한다.
한편 \(\operatorname{Im}(\varphi)\)는 정의역 \(\mathbb{Z}_{20}\times\mathbb{Z}_{26}\)의 상이므로, 그 위수는 정의역의 위수 \(520\)을 나눈다.
\[ |\mathbb{Z}_{20}\times\mathbb{Z}_{26}|=20\cdot 26=520 \]
따라서 \(m\)은 \(200\)과 \(520\)의 공약수여야 한다. 즉
\[ m\mid \gcd(200,520) \]
소인수분해를 하면
\[ 200=2^3\cdot 5^2,\quad 520=2^3\cdot 5\cdot 13 \]
이므로
\[ \gcd(200,520)=2^3\cdot 5=40 \]
따라서 \(m\mid 40\)이고, 동시에 \(d(m)=6\)을 만족해야 한다. \(40\)의 약수 중 약수의 개수가 6개인 것은
\[ m=20=2^2\cdot 5 \]
뿐이다. 따라서
\[ |\operatorname{Im}(\varphi)|=m=20 \]
이 된다.
이제 군 준동형 정리에 의해
\[ |\mathbb{Z}_{20}\times\mathbb{Z}_{26}| =|\ker\varphi|\cdot|\operatorname{Im}(\varphi)| \]
이므로
\[ 520 = |\ker\varphi|\cdot 20 \quad\Rightarrow\quad |\ker\varphi|=\frac{520}{20}=26 \]
따라서
\[ |\operatorname{Im}(\varphi)|=20,\qquad |\ker\varphi|=26 \]
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>