정답
\(V_Y=\dfrac{V_0}{8},\quad P_Y=\dfrac{32NkT_0}{V_0},\quad Q_1+Q_2=\dfrac{279}{2}NkT_0\)
출제 의도
이상기체의 상태방정식과 역학적 평형 조건을 이용하여 각 기체의 분자 수, 부피, 압력을 구하고, 단열 피스톤으로 이루어진 계 전체의 외부에 대한 일을 고려하여 내부 에너지 변화와 공급된 열량의 관계를 파악하는 문제이다. 단원자 기체의 내부 에너지 \(U=\frac{3}{2}NkT\)를 자유롭게 사용할 수 있는지를 본다.
풀이 과정
처음 상태 (가)에서 세 기체는 같은 부피 \(V_0\)를 갖고 역학적 평형이므로 압력이 모두 같아야 한다. 기체 X의 분자 수는 \(N\)이므로
$$ P_0=\frac{NkT_0}{V_0} $$
기체 Y, Z의 분자 수를 각각 \(N_Y,N_Z\)라 하면
$$ P_0=\frac{N_Yk(2T_0)}{V_0}=\frac{N_ZkT_0}{V_0} $$
이로부터
$$ N_Y=\frac{N}{2},\qquad N_Z=N $$
을 얻는다.
(나)에서 세 기체의 온도는 각각 \(68T_0, 8T_0, 24T_0\)이며 다시 역학적 평형이므로 공통 압력을 \(P\)라 하면
$$ P=\frac{Nk(68T_0)}{V_X} =\frac{N_Yk(8T_0)}{V_Y} =\frac{Nk(24T_0)}{V_Z} $$
여기서 \(N_Y=N/2\)를 대입하면
$$ P=\frac{68NkT_0}{V_X}=\frac{4NkT_0}{V_Y}=\frac{24NkT_0}{V_Z} $$
이므로
$$ \frac{68}{V_X}=\frac{4}{V_Y}\quad\Rightarrow\quad V_X=17V_Y, $$ $$ \frac{4}{V_Y}=\frac{24}{V_Z}\quad\Rightarrow\quad V_Z=6V_Y. $$
전체 실린더 부피는 변하지 않으므로
$$ V_X+V_Y+V_Z=3V_0 \quad\Rightarrow\quad (17+1+6)V_Y=24V_Y=3V_0 $$
따라서
$$ V_Y=\frac{3}{24}V_0=\frac{V_0}{8},\quad V_X=\frac{17}{8}V_0,\quad V_Z=\frac{3}{4}V_0 $$
이고, Y의 압력은
$$ P_Y=P=\frac{4NkT_0}{V_Y} =\frac{4NkT_0}{V_0/8} =\frac{32NkT_0}{V_0} $$
가 된다.
이제 \(Q_1+Q_2\)를 구한다. 피스톤은 모두 실린더 내부에 있으므로, 전체 기체(X+Y+Z)가 외부에 한 일은 0이다(전체 부피가 항상 \(3V_0\)로 일정). 따라서 계 전체에 공급된 열은 내부 에너지의 총 변화량과 같다.
단원자 이상기체에서 분자 수가 \(N_i\), 온도가 \(T\)일 때 내부 에너지는 \(U=\frac{3}{2}N_i kT\)이다.
처음 상태 (가)의 내부 에너지 합은
$$ U_{\text{초}} =\frac{3}{2}NkT_0 +\frac{3}{2}\left(\frac{N}{2}\right)k(2T_0) +\frac{3}{2}NkT_0 =\frac{9}{2}NkT_0 $$
(나)에서의 내부 에너지 합은
$$ U_{\text{끝}} =\frac{3}{2}Nk(68T_0) +\frac{3}{2}\left(\frac{N}{2}\right)k(8T_0) +\frac{3}{2}Nk(24T_0) =102NkT_0+6NkT_0+36NkT_0 =144NkT_0 $$
그러므로 전체 내부 에너지 변화는
$$ \Delta U=U_{\text{끝}}-U_{\text{초}} =144NkT_0-\frac{9}{2}NkT_0 =\frac{279}{2}NkT_0 $$
이고, 계 전체의 외부에 대한 일 \(W_{\text{외}}=0\)이므로 열역학 제1법칙
$$ Q_1+Q_2+Q_Y=\Delta U,\qquad Q_Y=0 $$
에서
$$ Q_1+Q_2=\Delta U=\frac{279}{2}NkT_0 $$
을 얻는다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>