정답
\(\displaystyle \vec B(\theta,t)=\frac{\alpha I_0\sin\theta}{cR}\cos[\omega(t-t’)]\;\hat\phi\)
\(\displaystyle \langle\vec S(\theta,t)\rangle=\frac{\alpha^2 I_0^{\,2}\sin^2\theta}{2\mu_0 cR^2}\;\hat r\)
출제 의도
전기 쌍극자에서 복사되는 전자기파를 멀리서 보면 평면파로 볼 수 있고, 이때 전기장과 자기장의 크기 관계 \(|\vec E|=c|\vec B|\)와 방향 관계, 그리고 \(\vec S=\dfrac{1}{\mu_0}\vec E\times\vec B\)를 이용하여 포인팅 벡터의 순간값과 시간평균값을 구하는지를 묻는 문제이다.
풀이 과정
주어진 전기장은
$$ \vec E(\theta,t) =\alpha\frac{I_0\sin\theta}{R}\cos[\omega(t-t’)]\;\hat\theta $$
이다. 점 \(P\)에서의 파동은 반지름 방향 \(\hat r\)로 진행하는 평면파로 근사된다.
진공 중 전자기 평면파에서 전기장과 자기장의 크기는
$$ |\vec E|=c|\vec B| $$
이므로 자기장의 크기는
$$ |\vec B(\theta,t)| =\frac{|\vec E(\theta,t)|}{c} =\frac{\alpha I_0\sin\theta}{cR}\cos[\omega(t-t’)] $$
이 된다. 방향은 \(\vec E,\vec B,\vec k\)가 오른손 직교를 이루어야 한다. 여기서 전파 방향은 \(\vec k\parallel\hat r\), 전기장은 \(\hat\theta\) 방향이므로
$$ \hat\theta\times\hat\phi=\hat r $$
을 만족시키려면 자기장은 \(\hat\phi\) 방향이어야 한다. 따라서
$$ \vec B(\theta,t) =\frac{\alpha I_0\sin\theta}{cR}\cos[\omega(t-t’)]\;\hat\phi $$
이다.
다음으로 포인팅 벡터의 순간값을 구한다. 자료에 의해
$$ \vec S=\frac{1}{\mu_0}\vec E\times\vec B $$
이고, \(\vec E\parallel\hat\theta\), \(\vec B\parallel\hat\phi\)이므로 \(\vec E\times\vec B\parallel\hat r\) 방향, 즉 바깥쪽을 향한다.
크기는
$$ S(\theta,t) =\frac{1}{\mu_0}EB =\frac{1}{\mu_0 c}E^2 $$
이므로, 주어진 \(\vec E\)를 대입하면
$$ S(\theta,t) =\frac{1}{\mu_0 c} \left(\alpha\frac{I_0\sin\theta}{R}\cos[\omega(t-t’)]\right)^2 =\frac{\alpha^2 I_0^{\,2}\sin^2\theta}{\mu_0 cR^2} \cos^2[\omega(t-t’)] $$
따라서 포인팅 벡터는
$$ \vec S(\theta,t) =\frac{\alpha^2 I_0^{\,2}\sin^2\theta}{\mu_0 cR^2} \cos^2[\omega(t-t’)]\;\hat r $$
이 된다.
이제 한 주기 \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\) 동안의 시간평균을 구한다. 시간평균 정의와 자료의 적분식을 이용하면
$$ \big\langle\cos^2[\omega(t-t’)]\big\rangle =\frac{1}{T}\int_0^T \cos^2[\omega(t-t’)]\,dt =\frac{1}{2} $$
이므로
$$ \langle S(\theta,t)\rangle =\frac{\alpha^2 I_0^{\,2}\sin^2\theta}{\mu_0 cR^2} \cdot\frac{1}{2} =\frac{\alpha^2 I_0^{\,2}\sin^2\theta}{2\mu_0 cR^2} $$
따라서 시간평균 포인팅 벡터는
$$ \langle\vec S(\theta,t)\rangle =\frac{\alpha^2 I_0^{\,2}\sin^2\theta}{2\mu_0 cR^2}\;\hat r $$
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>