정답
생성 전 광자의 에너지는 \(E_\gamma = 4mc^{2}\) 이다. 생성 후 세 입자의 총 운동 에너지는 \[ E_k = 3mc^{2}\!\left(\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}} -1\right) \] 이다.
출제 의도
정지해 있는 전자와 광자가 상호작용하여 전자·양전자 쌍이 생성될 때, 상대론적 에너지 보존과 운동량 보존을 동시에 사용하여 광자의 에너지와 생성된 입자들의 운동 에너지를 계산하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
정지해 있는 전자의 질량을 \(m\)이라 하고, 생성 후 세 입자의 속력은 모두 \(v\)이다. 전자와 양전자의 정지 질량도 모두 \(m\) 이다.
광자의 에너지와 운동량은 각각
$$ E_\gamma,\qquad p_\gamma = \frac{E_\gamma}{c} $$
생성 전 정지해 있는 전자의 에너지와 운동량은
$$ E_e = mc^{2},\qquad p_e = 0 $$
생성 후에는 전자 2개와 양전자 1개의 총 3개 입자가 모두 속력 \(v\)로 같은 방향으로 움직이므로, 각 입자의 상대론적 계수는
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
각 입자의 상대론적 전에너지는 \(\gamma mc^{2}\), 운동량은 \(\gamma mv\) 이다. 따라서 생성 후 세 입자의 총 에너지와 총 운동량은
$$ E_{\text{after}} = 3\gamma mc^{2},\qquad p_{\text{after}} = 3\gamma mv. $$
에너지 보존과 운동량 보존을 적용하면
에너지 보존: $$ E_\gamma + mc^{2} = 3\gamma mc^{2} $$
운동량 보존: $$ \frac{E_\gamma}{c} = 3\gamma mv \quad\Rightarrow\quad E_\gamma = 3\gamma mvc. $$
운동량 보존식으로 얻은 \(E_\gamma\) 를 에너지 보존식에 대입한다.
$$ 3\gamma mvc + mc^{2} = 3\gamma mc^{2}. $$
양변을 \(mc\) 로 나누면
$$ 3\gamma v + c = 3\gamma c \quad\Rightarrow\quad 3\gamma(c – v) = c. $$
여기서 \(\beta = \dfrac{v}{c}\) 를 두고 \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\) 를 쓰면
$$ 3\frac{1-\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}} = 1. $$
양변을 제곱하면
$$ 9(1-\beta)^{2} = 1-\beta^{2} \quad\Rightarrow\quad 9(1-2\beta+\beta^{2}) = 1-\beta^{2}. $$
$$ 9 – 18\beta + 9\beta^{2} = 1 – \beta^{2} \quad\Rightarrow\quad 10\beta^{2} – 18\beta + 8 = 0. $$
이를 풀면
$$ 5\beta^{2} – 9\beta + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad \beta = \frac{9 \pm \sqrt{81-80}}{10} = \frac{9 \pm 1}{10}. $$
따라서 \(\beta = 0.8\) 또는 \(\beta = 1\) 이지만, \(\beta=1\) 은 입자가 빛의 속도로 움직이는 비물리적인 경우이므로 버리고,
$$ \beta=\frac{v}{c}=0.8,\qquad v=0.8c. $$
이때
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-0.64}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{5}{3}. $$
이제 운동량 보존식에서 광자 에너지를 구하면
$$ E_\gamma = 3\gamma mvc = 3\cdot\frac{5}{3}\cdot m\cdot(0.8c)\cdot c = 5\cdot0.8\,mc^{2} = 4mc^{2}. $$
따라서 생성 전 광자의 에너지는
$$ E_\gamma = 4mc^{2}. $$
다음으로 생성 후 세 입자의 총 운동 에너지를 구한다. 총 전에너지는 \(3\gamma mc^{2}\), 세 입자의 정지 에너지 총합은 \(3mc^{2}\) 이므로
$$ E_k = 3\gamma mc^{2} – 3mc^{2} = 3mc^{2}(\gamma – 1). $$
이를 \(v\) 로 나타내면
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
이므로 최종적으로
$$ E_k = 3mc^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}} – 1\right). $$
이것이 생성 후 세 입자의 총 운동 에너지이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>