정답
\(\displaystyle \frac{A}{B}=2,\quad E(r)=\frac{2V_0}{3\ln 2}\,\frac{1}{r}\;(a 축대칭인 원통형 축전기에서 전위를 통해 전기장을 구하고, 경계 조건(전위 연속, 전기 변위 \(\vec D\) 의 법선 성분 연속)을 이용하여 미지 상수들의 비를 구하는 능력을 평가한다. 또한 에너지 밀도 \(u=\tfrac12\vec E\cdot\vec D\) 를 적분하여 전체 저장 에너지를 구하는 방법을 묻는다. 주어진 전위 분포는 \[ V(r)= \begin{cases} A\ln\!\dfrac{a}{r}+V_0,& a\le r\le 2a,\\[4pt] B\ln\!\dfrac{4a}{r},& 2a\le r\le 4a. \end{cases} \] \(r=a\) 에서 \(V(a)=V_0,\ r=4a\) 에서 \(V(4a)=0\) 이므로 경계 조건을 만족한다. 먼저 \(r=2a\) 에서 전위 연속 조건을 쓴다. \[ A\ln\!\frac{a}{2a}+V_0 = B\ln\!\frac{4a}{2a} \quad\Rightarrow\quad A\ln\frac{1}{2}+V_0 = B\ln 2. \] \(\ln\frac{1}{2}=-\ln 2\) 이므로 \[ -A\ln 2 + V_0 = B\ln 2. \tag{1} \] 다음으로 전기장과 전기변위를 구한다. 축대칭이므로 전기장은 반지름 방향만 가진다. \[ E_r(r) = -\frac{dV}{dr}. \] 각 영역에서 미분하면 \[ V_1(r)=A(\ln a-\ln r)+V_0 \quad(a \[ V_2(r)=B(\ln 4a-\ln r) \quad(2a 따라서 전기 변위(등방성 유전체) \(\vec D=\varepsilon \vec E\) 의 크기는 \[ D_1(r)=\varepsilon_1\frac{A}{r},\qquad D_2(r)=\varepsilon_2\frac{B}{r}. \] 자료에 따라 \(r=2a\) 에서 \(D_r\) 가 연속이므로 \[ \varepsilon_1\frac{A}{2a}=\varepsilon_2\frac{B}{2a} \quad\Rightarrow\quad \varepsilon_1A=\varepsilon_2B. \] \(\varepsilon_2=2\varepsilon_1\) 이므로 \[ \varepsilon_1A = 2\varepsilon_1B \quad\Rightarrow\quad A=2B. \] 따라서 \[ \frac{A}{B}=2. \] 이제 식 (1)에 \(A=2B\) 를 대입하여 \(A,B\) 를 \(V_0\) 로 나타내면 \[ -2B\ln 2 + V_0 = B\ln 2 \quad\Rightarrow\quad V_0 = 3B\ln 2 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{V_0}{3\ln 2},\ A = \frac{2V_0}{3\ln 2}. \] 그러므로 \(a \[ E(r)=E_1(r)=\frac{A}{r} = \frac{2V_0}{3\ln 2}\,\frac{1}{r}. \] 이제 축전기 전체에 저장된 에너지 \(U\) 를 구한다. 에너지 밀도는 \[ u = \frac{1}{2}\vec E\cdot\vec D = \frac12 \varepsilon E^2 \] 이므로, 두 유전체 영역에 대해 나누어 적분한다. 원통 좌표계에서 부피원소는 \(d\tau=2\pi rL\,dr\) 이다. 1) 영역 \(a \[ E_1(r)=\frac{A}{r},\quad u_1(r)=\frac12\varepsilon_1\frac{A^2}{r^2}. \] \[ U_1 = \int_a^{2a} u_1\,d\tau = \int_a^{2a} \frac12\varepsilon_1\frac{A^2}{r^2}\,2\pi rL\,dr = \varepsilon_1A^2\pi L\int_a^{2a}\frac{1}{r}\,dr = \varepsilon_1A^2\pi L\ln 2. \] 2) 영역 \(2a \[ E_2(r)=\frac{B}{r},\quad u_2(r)=\frac12\varepsilon_2\frac{B^2}{r^2}, \] \[ U_2 = \int_{2a}^{4a} u_2\,d\tau = \varepsilon_2B^2\pi L\int_{2a}^{4a}\frac{1}{r}\,dr = \varepsilon_2B^2\pi L\ln 2. \] 따라서 전체 에너지는 \[ U = U_1+U_2 = \pi L\ln 2\,(\varepsilon_1A^2+\varepsilon_2B^2). \] \(\varepsilon_2=2\varepsilon_1,\ A=2B\) 이므로 \[ \varepsilon_1A^2+\varepsilon_2B^2 = \varepsilon_1(4B^2)+2\varepsilon_1B^2 = 6\varepsilon_1B^2. \] 또한 \(B=\dfrac{V_0}{3\ln 2}\) 이므로 \[ U = \pi L\ln 2\cdot 6\varepsilon_1\left(\frac{V_0}{3\ln 2}\right)^2 = \pi L\ln 2\cdot 6\varepsilon_1\frac{V_0^2}{9\ln^2 2} = \frac{2}{3}\,\frac{\pi\varepsilon_1 L}{\ln 2}\,V_0^{\,2}. \] 따라서 축전기에 저장된 전체 에너지는 \[ U=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{\pi\varepsilon_1 L}{\ln 2}\,V_0^{\,2} \] 이다. <풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>출제 의도
풀이 과정