정답
\(l=2,\, s=\dfrac12\)일 때 해밀토니언 \(H=\beta\,\mathbf L\cdot\mathbf S\)의 두 고윳값은
\(\displaystyle \lambda_1=-\dfrac32\,\beta\hbar^2,\quad \lambda_2=\beta\hbar^2\) 이고 \((\lambda_1<\lambda_2)\), \(\lambda_1\)의 겹침도(퇴 degeneracy)는 \(g=4\)이다.
출제 의도
스핀–궤도 결합에서 총각운동량 \(\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S\)를 도입하고, \(\mathbf L\cdot\mathbf S\)를 \(\mathbf J^2,\,\mathbf L^2,\,\mathbf S^2\)로 표현하여 각운동량 결합의 고윳값을 이용해 에너지 고윳값과 그 퇴 degeneracy를 구하는 문제이다.
풀이 과정
자료에서 주어진 식을 이용하면 해밀토니언은
$$ H=\beta\,\mathbf L\cdot\mathbf S =\beta\,\frac12\left(\mathbf J^2-\mathbf L^2-\mathbf S^2\right) $$
와 같이 쓸 수 있다. 따라서 \(\mathbf J^2,\mathbf L^2,\mathbf S^2\)의 공통 고유상태 \(\lvert j,m_j\rangle\)는 \(H\)의 고유상태가 된다.
각운동량에 대한 일반적인 고윳값 식은
$$ \mathbf A^2\lvert\alpha,m_\alpha\rangle =\alpha(\alpha+1)\hbar^2\lvert\alpha,m_\alpha\rangle $$
이므로, 여기서는
$$ \mathbf J^2\lvert j,m_j\rangle = j(j+1)\hbar^2\lvert j,m_j\rangle, $$ $$ \mathbf L^2\lvert j,m_j\rangle = l(l+1)\hbar^2\lvert j,m_j\rangle, $$ $$ \mathbf S^2\lvert j,m_j\rangle = s(s+1)\hbar^2\lvert j,m_j\rangle $$
이 성립한다.
따라서 \(H\)의 고윳값 \(\lambda\)는 다음과 같이 주어진다.
$$ \lambda =\frac{\beta}{2}\Big(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\Big)\hbar^2 $$
여기서 \(l=2,\; s=\dfrac12\) 이고, 각운동량 결합에 의해 가능한 총각운동량 양자수는
$$ j = l+s,\; l-s \quad\Rightarrow\quad j=\frac52,\;\frac32 $$
이다.
\(l(l+1)=2\cdot3=6\), \(s(s+1)=\dfrac12\cdot\dfrac32=\dfrac34\) 이다.
먼저 \(j=\dfrac52\)일 때
$$ j(j+1)=\frac52\cdot\frac72=\frac{35}{4} $$
이므로
$$ j(j+1)-l(l+1)-s(s+1) =\frac{35}{4}-6-\frac34 =\frac{35-24-3}{4} =\frac{8}{4}=2 $$
따라서
$$ \lambda(j=\tfrac52) =\frac{\beta}{2}\cdot 2\,\hbar^2 =\beta\hbar^2 $$
을 얻는다.
다음으로 \(j=\dfrac32\)일 때
$$ j(j+1)=\frac32\cdot\frac52=\frac{15}{4} $$
이므로
$$ j(j+1)-l(l+1)-s(s+1) =\frac{15}{4}-6-\frac34 =\frac{15-24-3}{4} =-\frac{12}{4}=-3 $$
따라서
$$ \lambda(j=\tfrac32) =\frac{\beta}{2}\cdot(-3)\hbar^2 =-\frac32\,\beta\hbar^2 $$
을 얻는다.
주어진 조건에서 \(\beta>0\)이므로 \(\lambda(j=\tfrac32) < \lambda(j=\tfrac52)\) 이다. 따라서
$$ \lambda_1=-\frac32\,\beta\hbar^2,\qquad \lambda_2=\beta\hbar^2 $$
이다.
이제 각 고윳값의 겹침도를 구한다. 각운동량 양자수 \(j\)에 대해 자기양자수 \(m_j\)는
$$ m_j=-j,\,-j+1,\dots,\,j-1,\,j $$
이므로 가능한 값의 개수는 \(2j+1\)개이다. 따라서
$$ j=\frac32 \Rightarrow g_1=2\cdot\frac32+1=4, \qquad j=\frac52 \Rightarrow g_2=2\cdot\frac52+1=6 $$
이다.
문제에서 요구한 것은 작은 고윳값 \(\lambda_1\)의 겹침도이므로, 최종적으로
$$ \lambda_1=-\frac32\,\beta\hbar^2,\quad g=4 $$
임을 알 수 있다. 전체 상태 수는 \((2l+1)(2s+1)=5\times2=10\)이고, 두 준위의 겹침도 합이 \(4+6=10\)이므로 결과가 일관됨도 확인된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>