정답
\(\tan\alpha=\dfrac1{20},\quad L_2\)와 최종 상 사이의 거리는 \(40\ \text{cm}\),\quad \(\tan\beta=\dfrac3{65}\)이다.
출제 의도
조리개가 있는 두 얇은 렌즈계에서 기하광학(근축광선)을 이용하여 광선의 기울기를 구하고, 얇은 렌즈 공식을 통해 중간상과 최종상의 위치·배율을 순차적으로 계산한 뒤, 광선과 광축이 이루는 각을 구하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
좌표축을 잡아 \(L_1\)을 \(x=0\)에 두고, 오른쪽을 \(+x\) 방향으로 하자. 물체의 밑점 \(A\)는 \(x=-15\ \text{cm}\) (광축 위), 꼭대기 \(B\)는 높이 \(1\ \text{cm}\) 이므로 \((-15,\ 1)\)에 있다. 조리개 중심은 \(L_1\)에서 5 cm 오른쪽, \(L_2\)에서 5 cm 왼쪽이므로 \((5,0)\), 조리개 반지름은 \(1\ \text{cm}\)이다.
먼저 \(A\)에서 나온 광선 \(R_1\)은 조리개의 가장자리(예를 들어 위쪽 가장자리 \((5,1)\))를 지난다. 따라서 \(A(-15,0)\)와 \((5,1)\)을 잇는 직선의 기울기는
$$ \tan\alpha =\frac{1-0}{5-(-15)} =\frac1{20}. $$
다음으로 두 렌즈에 의한 상의 위치를 구한다. \(L_1\)의 초점거리는 \(f_1=10\ \text{cm}\), \(L_2\)는 오목렌즈이므로 \(f_2=-40\ \text{cm}\) 이다.
1) \(L_1\)에 의한 중간상:
물체까지의 거리 \(s_1=15\ \text{cm}\) 이므로 렌즈 방정식 \[ \frac1{f_1}=\frac1{s_1}+\frac1{s_1′} \] 에 대입하면
$$ \frac1{10}=\frac1{15}+\frac1{s_1′} \quad\Rightarrow\quad \frac1{s_1′}=\frac1{10}-\frac1{15}=\frac1{30} \Rightarrow s_1’=30\ \text{cm}. $$
따라서 중간상은 \(L_1\)에서 30 cm 오른쪽, 즉 \(x=30\ \text{cm}\)에 형성된다.
높이에 대한 배율은 \[ m_1=-\frac{s_1′}{s_1}=-\frac{30}{15}=-2 \] 이므로, 중간상의 높이는 \[ y_1=m_1 y_0=-2\times1=-2\ \text{cm} \] (광축 아래쪽)이다.
2) \(L_2\)에 대한 물체로서 이 중간상을 본다. \(L_2\)는 \(x=10\)에 있으므로 중간상까지의 거리는
$$ s_2 = 30-10 = 20\ \text{cm} $$
인데, 상이 \(L_2\)의 오른쪽(출사측)에 있으므로 부호를 붙여 \(s_2=-20\ \text{cm}\) (가상물체)로 둔다. 다시 렌즈 방정식
$$ \frac1{f_2}=\frac1{s_2}+\frac1{s_2′} $$
에 대입하면
$$ \frac1{-40}=\frac1{-20}+\frac1{s_2′} \quad\Rightarrow\quad \frac1{s_2′}=-\frac1{40}+\frac1{20}=\frac1{40} \Rightarrow s_2’=40\ \text{cm}. $$
따라서 최종상은 \(L_2\)에서 40 cm 오른쪽, 즉 \(x=50\ \text{cm}\)에 생기며, 이것이 문제에서 묻는 “\(L_2\)와 최종 상 사이의 거리”이다.
최종상의 높이는 두 번째 렌즈의 배율 \[ m_2=-\frac{s_2′}{s_2} = -\frac{40}{-20} = -2 \] 이므로 \[ y_2 = m_2 y_1 = (-2)\times(-2)=4\ \text{cm} \] 가 된다. 즉 최종상 꼭대기 \(B’\)는 \((50,4)\)에 있다.
이제 \(B\)에서 출발하여 렌즈계를 지난 광선 \(R_2\)는 결국 점 \(B’\)에 모이게 된다. 따라서 충분히 멀리서 보면 \(R_2\)의 진행 방향은 직선 \(BB’\) 와 같다. 광축(또는 그와 평행한 선)과 이루는 각을 \(\beta\) 라고 하면, 그 탄젠트는 직선 \(BB’\)의 기울기이다.
\(B(-15,1)\), \(B'(50,4)\) 이므로
$$ \tan\beta =\frac{4-1}{50-(-15)} =\frac{3}{65}. $$
따라서
$$ \tan\alpha=\frac1{20},\qquad \text{최종 상까지의 거리}=40\ \text{cm},\qquad \tan\beta=\frac3{65}. $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>