정답
흡수 세기는 전이 전기 쌍극자 모멘트의 제곱에 비례한다. 바닥 상태 \(\psi_1(x)\) 에서 들뜬 상태 \(\psi_n(x)\) 으로의 전이에 대한 전이 전기 쌍극자 모멘트는 \(\mu_{1n}=e\displaystyle\int_{0}^{L}\psi_1(x)\,x\,\psi_n(x)\,dx\) 이다.
적분을 수행하면
$$ \mu_{1n}= \begin{cases} \dfrac{-8eLn}{\pi^2(n^2-1)^2}, & n \text{ 가 짝수일 때} \\ 0, & n \text{ 이 홀수일 때} \end{cases} $$
따라서 바닥 상태 \((n=1)\) 에서의 전자 전이가 허용되려면 \(n\) 이 짝수(즉 \(\Delta n\) 이 홀수)이어야 한다.
출제 의도
입자-상자 모형에서 전이 전기 쌍극자 모멘트를 이용해 전자 전이의 흡수 세기(강도)를 설명하고, 주어진 파동함수와 연산자를 사용하여 전이 전기 쌍극자 모멘트의 적분식을 세운 뒤 실제로 적분하여 선택 규칙(허용되는 양자수 조건)을 도출하는 것이 목표이다.
풀이 과정
빛의 흡수에 의한 전자 전이는 전이 전기 쌍극자 모멘트 \(\mu_{1n}=\langle \psi_n|\hat{\mu}|\psi_1\rangle\) 의 크기에 의해 결정된다.
전이 확률(진폭의 제곱) 혹은 흡수 스펙트럼의 세기 \(I\) 는
$$ I \propto |\mu_{1n}|^2 $$
에 비례하므로, \(\mu_{1n}=0\) 이면 전이가 금지되고, \(|\mu_{1n}|\) 이 클수록 강하게 흡수된다.
문제에서 전기 쌍극자 모멘트 연산자는 \(\hat{\mu} = e x\) 이고, 정규화된 상자 안 파동함수는
$$ \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\quad (0\le x\le L) $$
이다.
따라서 바닥 상태 \(\psi_1(x)\) 에서 들뜬 상태 \(\psi_n(x)\) 으로의 전이에 대한 전이 전기 쌍극자 모멘트는
$$ \mu_{1n} =\int_0^L \psi_1(x)\,\hat{\mu}\,\psi_n(x)\,dx =e\int_0^L \psi_1(x)\,x\,\psi_n(x)\,dx $$
즉,
$$ \mu_{1n} =e\frac{2}{L}\int_0^L x\, \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx $$
가 된다. 여기에서 삼각함수 곱 공식
$$ \sin\alpha\sin\beta =\frac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr] $$
을 이용하면
$$ \mu_{1n} =e\frac{2}{L}\cdot\frac{1}{2} \int_0^L x\Bigl[ \cos\Bigl(\frac{(n-1)\pi x}{L}\Bigr) – \cos\Bigl(\frac{(n+1)\pi x}{L}\Bigr) \Bigr]dx $$
즉
$$ \mu_{1n} =\frac{e}{L} \left[ \int_0^L x\cos(k_-x)\,dx – \int_0^L x\cos(k_+x)\,dx \right] $$
여기서 \(k_-=\dfrac{(n-1)\pi}{L}\), \(k_+=\dfrac{(n+1)\pi}{L}\) 이다.
정적분 공식
$$ \int_0^a x\cos(kx)\,dx =\frac{1}{k^2}\bigl[\cos(ka)-1\bigr] +\frac{a}{k}\sin(ka) $$
을 \(a=L\) 에 대하여 사용하면
$$ \int_0^L x\cos(k_\pm x)\,dx =\frac{1}{k_\pm^2}\bigl[\cos(k_\pm L)-1\bigr] +\frac{L}{k_\pm}\sin(k_\pm L) $$
이 된다. 그런데
$$ k_\pm L=(n\mp 1)\pi $$
이므로 \(\sin(k_\pm L)=\sin[(n\mp1)\pi]=0\) 이고, \(\cos(k_\pm L)=\cos[(n\mp1)\pi]=(-1)^{n\mp1}\) 이다. 따라서
$$ \mu_{1n} =\frac{e}{L} \left\{ \frac{\cos[(n-1)\pi]-1}{k_-^2} -\frac{\cos[(n+1)\pi]-1}{k_+^2} \right\} $$
이제 \(n\) 이 홀수인지 짝수인지에 따라 나누어 본다.
(1) \(n\) 이 홀수일 때, \(n=2m+1\) 이라 두면 \(n-1=2m\), \(n+1=2m+2\) 로 둘 다 짝수이므로 \(\cos[(n-1)\pi]=\cos[(n+1)\pi]=+1\) 이고, 따라서 각 괄호의 \(\cos-1\) 항이 모두 0 이 되어
$$ \mu_{1n}=0 \quad (n \text{ 홀수}) $$
즉 바닥 상태에서 홀수 \(n\) 으로의 전이는 전기 쌍극자 전이로 금지된다.
(2) \(n\) 이 짝수일 때, \(n=2m\) 이라 두면 \(n-1\) 과 \(n+1\) 은 둘 다 홀수이므로 \(\cos[(n-1)\pi]=\cos[(n+1)\pi]=-1\) 이고, \(\cos-1=-2\) 가 된다. 따라서
$$ \mu_{1n} =\frac{e}{L} \left[ \frac{-2}{k_-^2} -\frac{-2}{k_+^2} \right] =-\frac{2e}{L} \left( \frac{1}{k_-^2}-\frac{1}{k_+^2} \right) \neq 0 $$
여기서 \(k_-=\dfrac{(n-1)\pi}{L}\), \(k_+=\dfrac{(n+1)\pi}{L}\) 을 대입하면
$$ \frac{1}{k_-^2}-\frac{1}{k_+^2} =\frac{4nL^2}{(n^2-1)^2\pi^2} $$
이므로
$$ \mu_{1n} =-\frac{8eLn}{\pi^2(n^2-1)^2} \quad (n \text{ 짝수}) $$
가 된다. 부호는 스펙트럼 세기에 영향을 주지 않으므로, 크기만 쓰면
$$ |\mu_{1n}|=\frac{8eLn}{\pi^2(n^2-1)^2}\quad (n \text{ 짝수}) $$
정리하면, 바닥 상태 \(n=1\) 에서의 전기 쌍극자 전이는
- \(n\) 이 홀수일 때 \(\mu_{1n}=0\) 이므로 금지 전이,
- \(n\) 이 짝수일 때 \(|\mu_{1n}|\neq 0\) 이므로 허용 전이이다.
따라서 바닥 상태에서 전자 전이가 가능한 모든 양자수 조건은
$$ n = 2,4,6,\dots \quad (\text{즉 } n \text{ 짝수, } \Delta n \text{ 이 홀수}) $$
이다. 이 허용 전이들에 대해 흡수 세기는 \(I\propto|\mu_{1n}|^2\) 로 결정된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>