정답
1) \(X+Y\)의 표준편차 : $$500$$ 2) 신뢰구간 \((5000-1.96\times c,\;5000+1.96\times c)\)에서의 상수 $$c = 50$$
출제의도
– 서로 독립인 정규분포 확률변수의 합의 분산·표준편차를 구하는 능력 평가 – 표본평균의 분포를 이용하여 두 모평균의 합 \(\mu_1+\mu_2\)에 대한 신뢰구간을 설정하고, 그 과정에서 표준오차를 올바르게 계산할 수 있는지 확인
풀이과정
1. (X+Y)의 표준편차 구하기
수박 무게 (X, Y)가 각각 $$X \sim N(\mu_1, 400^2), \quad Y \sim N(\mu_2, 300^2)$$ 이고 서로 독립이므로, 합 (X+Y)의 분산은 $$\mathrm{Var}(X+Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) = 400^2 + 300^2$$ 이다.
계산하면 $$400^2 = 160000,\quad 300^2 = 90000$$ $$\Rightarrow \mathrm{Var}(X+Y) = 160000 + 90000 = 250000$$ 따라서 표준편차는 $$\sqrt{250000} = \sqrt{25 \times 10000} = 5 \times 100 = 500$$ 이므로, $$\sigma_{X+Y} = 500$$ 이다.
2. (\mu_1 + \mu_2)에 대한 95% 신뢰구간에서 (c) 구하기
2-1. 표본평균들의 분포
A 과수원에서 추출한 수박 100개의 표본평균을 (\bar X), B 과수원에서 추출한 수박 100개의 표본평균을 (\bar Y)라 하면,
각각의 분포는 (모분산이 알려진 정규모집단에서의 표본평균 분포) $$\bar X \sim N!\left(\mu_1, \frac{400^2}{100}\right) = N(\mu_1, 40^2)$$ $$\bar Y \sim N!\left(\mu_2, \frac{300^2}{100}\right) = N(\mu_2, 30^2)$$ 이다.
2-2. (\bar X + \bar Y)의 분포
표본을 독립적으로 추출했다고 보면 (\bar X)와 (\bar Y)도 서로 독립이다. 따라서 (\bar X + \bar Y)의 분포는 $$\bar X + \bar Y \sim N!\left(\mu_1+\mu_2,\; 40^2 + 30^2\right)$$ 이다.
분산을 계산하면 $$40^2 = 1600,\quad 30^2 = 900$$ $$\Rightarrow \mathrm{Var}(\bar X + \bar Y) = 1600 + 900 = 2500$$ 따라서 표준편차(표준오차)는 $$\sqrt{2500} = 50$$ 이다.
2-3. 신뢰구간 형태와 (c) 계산
실제 관측된 표본평균 값은 $$\bar X = 3000,\quad \bar Y = 2000$$ 이므로, $$\bar X + \bar Y = 3000 + 2000 = 5000$$ 이다.
(\mu_1+\mu_2)에 대한 95% 신뢰구간은 (모분산을 알고, 정규분포 가정이므로 Z-신뢰구간 사용) $$\bar X + \bar Y \pm z_{0.975} \times \text{표준오차}$$ $$= 5000 \pm 1.96 \times 50$$ 형태가 된다.
문제에서 신뢰구간을 $$(5000 – 1.96 \times c,\; 5000 + 1.96 \times c)$$ 라고 주었으므로, 여기서의 (c)는 (\bar X + \bar Y)의 표준오차, 즉 $$c = 50$$ 이다.
따라서 최종적으로 $$\sigma_{X+Y} = 500,\quad c = 50$$ 이다.