정답
z = −d/2에서 자기장의 크기는 μ₀αd²/8 이고, z = 3d/2에서 자기장의 크기는 μ₀αd²/2 이다.
출제 의도
무한히 넓은 도체판에 분포한 체전류로부터 자기장을 구하는 문제로, 대칭성과 암페어 법칙을 이용하여 자기장의 세기가 위치에 따라 어떻게 달라지는지를 계산하는 능력을 평가한다.
풀이 과정
도체판은 \(-d \le z \le d\) 영역에 존재하며, 체전류 밀도는
$$ \vec{J}(z) = \begin{cases} \alpha |z|\,\hat{x} & (|z|\le d) \\ 0 & (|z|> d) \end{cases} $$
이다. 도체판이 \(x,y\) 방향으로 무한히 넓고 \(\vec{J}\)가 \(z\)만의 함수이므로, 자기장 \(\vec{B}\) 또한 \(z\)에만 의존하고, 방향은 \(\hat{y}\) 또는 \(-\hat{y}\)가 된다. 우리는 자기장의 크기 \(B(z)\)만을 구하면 된다.
암페어 법칙은 다음과 같다.
$$ \oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}} $$
\(yz\) 평면에 놓인 직사각형 암페어 경로를 잡는다. 길이 \(L\)인 두 변을 \(y\)축 방향으로, 위쪽은 \(z = +z\), 아래쪽은 \(z=-z\)에 두고, 나머지 두 변은 \(z\)축 방향으로 둔다. \(\vec{B}\)는 \(y\) 방향만 가지므로, \(y\) 방향의 두 변에서만 선적분이 기여하고 각 변에서 \(|\vec{B}|=B(z)\)라 가정한다.
따라서 왼쪽과 오른쪽 변에서의 기여를 합치면
$$ \oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = 2 B(z) L $$
이 된다.
이제 이 암페어 경로를 뚫고 지나가는 전류 \(I_{\text{enc}}\)를 구한다. 면의 법선 방향은 \(\hat{x}\)이므로, 관통 전류는 체전류 밀도의 \(x\)성분을 \(z\)에 따라 적분한 것이다.
$$ I_{\text{enc}} = \int \vec{J}\cdot d\vec{A} = \int_{-z}^{z} \alpha |z’|\, L\, dz’ $$
여기서 \(|z|\le d\)인 경우(도체판 내부)에는 다음과 같이 계산된다.
$$ I_{\text{enc}} = 2\alpha L \int_0^{z} z’ \, dz’ = 2\alpha L \left[\frac{z’^2}{2}\right]_0^{z} = \alpha L z^2 $$
따라서 암페어 법칙에서
$$ 2 B(z) L = \mu_0 (\alpha L z^2) $$
이므로, 도체판 내부 \(|z|\le d\)에서 자기장의 크기는
$$ B(z) = \frac{\mu_0 \alpha}{2} z^2 $$
이다.
이제 \(z = -\dfrac{d}{2}\)에서의 크기를 구하면, \(|z| = \dfrac{d}{2}\)이므로
$$ B\!\left(-\frac{d}{2}\right) = \frac{\mu_0 \alpha}{2} \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\mu_0 \alpha d^2}{8} $$
이 된다.
다음으로, 도체판 외부 \(|z| > d\)인 경우를 생각한다. 위에서와 같은 모양의 암페어 경로를 잡되, \(z \ge d\)로 둔다. 그러면 경로를 가로지르는 전류는 도체판 전체에 흐르는 전류만 포함되며, 이는 \(z\)값에 더 이상 의존하지 않는다.
$$ I_{\text{enc}} = \int_{-d}^{d} \alpha |z’|\, L\, dz’ = 2\alpha L \int_0^{d} z’ \, dz’ = 2\alpha L \left[\frac{z’^2}{2}\right]_0^{d} = \alpha L d^2 $$
암페어 법칙을 적용하면
$$ 2 B(z) L = \mu_0 (\alpha L d^2) $$
따라서 도체판 외부, 즉 \(|z| \ge d\)에서 자기장의 크기는
$$ B(z) = \frac{\mu_0 \alpha d^2}{2} $$
으로 일정하다.
따라서 \(z = \dfrac{3d}{2}\)는 도체판 외부이므로
$$ B\!\left(\frac{3d}{2}\right) = \frac{\mu_0 \alpha d^2}{2} $$
이다. 결론적으로,
$$ B\left(z=-\frac{d}{2}\right) = \frac{\mu_0 \alpha d^2}{8}, \qquad B\left(z=\frac{3d}{2}\right) = \frac{\mu_0 \alpha d^2}{2} $$
가 된다.