정답
\(x(t)=A\cos 3\omega t+\dfrac{A}{8}\sin\omega t,\quad x\!\left(\dfrac{\pi}{2\omega}\right)=\dfrac{A}{8},\quad v\!\left(\dfrac{\pi}{2\omega}\right)=3A\omega\)
출제 의도
용수철 진동계에 외력이 작용할 때 운동 방정식을 세우고, 상수 계수 선형 미분방정식을 일반해(자유해+특수해)의 합으로 풀 수 있는지, 그리고 주어진 초기 조건을 적용하여 상수를 결정하고 특정 시각의 위치와 속도를 계산할 수 있는지 묻는 문제이다.
풀이 과정
질량 \(m\)인 물체에 작용하는 힘은 용수철 탄성력과 외력 두 개이므로, 평형위치로부터 변위를 \(x(t)\)라 하면 운동 방정식은
$$ m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_x(t) $$
문제에서 \(F_x(t)=m\omega^2 A\sin(\omega t)\), \(k=9m\omega^2\)이므로, 위 식을 \(m\)으로 나누면
$$ \frac{d^2x}{dt^2} + 9\omega^2 x = \omega^2A\sin(\omega t) $$
자료에 따라 해는 동차방정식의 해 \(g(t)\)와 비동차항이 있을 때의 특수해 \(f(t)\)의 합으로 쓴다.
먼저 동차식
$$ \frac{d^2x}{dt^2}+ 9\omega^2x = 0 $$
의 해는
$$ x_h(t)=C_1\cos(3\omega t)+C_2\sin(3\omega t) $$
이다.
특수해는 오른쪽이 \(\sin(\omega t)\)이므로
$$ x_p(t)=B\sin(\omega t) $$
라고 두고 대입한다.
$$ \frac{d^2x_p}{dt^2} = -B\omega^2\sin(\omega t) $$
따라서
$$ (-B\omega^2+9\omega^2B)\sin(\omega t) =8B\omega^2\sin(\omega t) =\omega^2A\sin(\omega t) $$
이 되어
$$ B=\frac{A}{8} $$
을 얻는다. 따라서 특수해는
$$ x_p(t)=\frac{A}{8}\sin(\omega t) $$
이고, 전체 해는
$$ x(t)=C_1\cos(3\omega t)+C_2\sin(3\omega t)+\frac{A}{8}\sin(\omega t) $$
이다.
초기 조건 \(x(0)=A,\; v(0)=\dfrac{A\omega}{8}\)을 이용한다. 먼저 \(t=0\)일 때
$$ x(0)=C_1\cdot 1+C_2\cdot 0+\frac{A}{8}\cdot 0=A \quad\Rightarrow\quad C_1=A $$
속도 \(v(t)=\dfrac{dx}{dt}\)를 구하면
$$ v(t)=-3\omega C_1\sin(3\omega t)+3\omega C_2\cos(3\omega t) +\frac{A}{8}\omega\cos(\omega t) $$
이므로
$$ v(0)=3\omega C_2+\frac{A}{8}\omega=\frac{A\omega}{8} \quad\Rightarrow\quad 3\omega C_2=0\quad\Rightarrow\quad C_2=0 $$
따라서 초기 조건을 만족하는 해는
$$ x(t)=A\cos(3\omega t)+\frac{A}{8}\sin(\omega t) $$
이고, 속도는
$$ v(t)=-3A\omega\sin(3\omega t)+\frac{A}{8}\omega\cos(\omega t) $$
이다.
이제 \(t_1=\dfrac{\pi}{2\omega}\)에서의 값을 구한다. 먼저
$$ 3\omega t_1 = 3\omega\cdot\frac{\pi}{2\omega}=\frac{3\pi}{2}, \qquad \omega t_1 = \frac{\pi}{2} $$
이므로
$$ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 $$
이를 대입하면 위치는
$$ x(t_1) = A\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) +\frac{A}{8}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) =0+\frac{A}{8}\cdot 1 =\frac{A}{8} $$
속도는
$$ v(t_1)= -3A\omega\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) +\frac{A}{8}\omega\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3A\omega(-1)+0 =3A\omega $$
따라서
$$ x(t)=A\cos 3\omega t+\frac{A}{8}\sin\omega t,\quad x\!\left(\frac{\pi}{2\omega}\right)=\frac{A}{8},\quad v\!\left(\frac{\pi}{2\omega}\right)=3A\omega $$
가 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>