정답
\(K = a = 5.0\times10^{-2}\), 질량 균형식은 \(x = [X] + \dfrac{1}{2}[Y]\), 초기 농도는 \(x = 7.0\times10^{-3}\,\mathrm{M}\)이다.
출제 의도
평형에 있는 혼합 용액의 흡광도를 여러 파장에서 측정하여 Beer–Lambert 법칙을 이용해 각 종의 농도를 구하고, 이로부터 평형상수와 질량 균형식을 세울 수 있는지를 평가하는 문제이다.
풀이 과정
반응식은 다음과 같다.
$$ X(\mathrm{aq}) \rightleftharpoons 2Y(\mathrm{aq}), \qquad K = a $$
평형상수식은
$$ K = a = \frac{[Y]^2}{[X]} $$
이다.
초기 농도는 \([X]_0 = x\), \([Y]_0 = 0\)이다. 평형에서의 농도를 \([X]\), \([Y]\)라 하면, 반응식의 화학량비로부터
$$ x = [X] + \frac{1}{2}[Y] $$
의 질량 균형식을 얻는다.
이제 흡광도를 이용해 \([X]\), \([Y]\)를 구한다. 셀 경로 길이는 \(1\,\mathrm{cm}\)이므로 Beer–Lambert 법칙에 의해 파장 \(\lambda\)에서의 흡광도는
$$ A_\lambda = \varepsilon_{X,\lambda}[X] + \varepsilon_{Y,\lambda}[Y] $$
이다.
주어진 몰흡광 계수를 이용하면, 600 nm에서
$$ A_{600} = 0.6 = 300[X] + 0\cdot[Y] $$
이므로
$$ [X] = \frac{0.6}{300} = 2.0\times10^{-3}\,\mathrm{M} $$
450 nm에서
$$ A_{450} = 0.6 = 150[X] + 30[Y] $$
이므로 \([X] = 2.0\times10^{-3}\,\mathrm{M}\)을 대입하면
$$ 0.6 = 150(2.0\times10^{-3}) + 30[Y] = 0.30 + 30[Y] $$
$$ 30[Y] = 0.30 \quad\Rightarrow\quad [Y] = 1.0\times10^{-2}\,\mathrm{M} $$
이제 평형상수식을 적용하면
$$ K = a = \frac{[Y]^2}{[X]} = \frac{(1.0\times10^{-2})^2}{2.0\times10^{-3}} = \frac{1.0\times10^{-4}}{2.0\times10^{-3}} = 5.0\times10^{-2} $$
초기 농도 \(x\)는 질량 균형식으로부터
$$ x = [X] + \frac{1}{2}[Y] = 2.0\times10^{-3} + \frac{1}{2}\times1.0\times10^{-2} = 2.0\times10^{-3} + 5.0\times10^{-3} = 7.0\times10^{-3}\,\mathrm{M} $$
따라서 \(K = 5.0\times10^{-2}\), 질량 균형식은 \(x = [X] + \dfrac{1}{2}[Y]\), 초기 농도는 \(x = 7.0\times10^{-3}\,\mathrm{M}\)이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>