정답
\(X+Y\)의 표준편차는 \(500\)이고, \(c=50\)이다.
출제 의도
서로 독립인 정규분포를 따르는 확률변수의 합의 분산과 표준편차를 구할 수 있는지, 또한 표본평균의 분포를 이용하여 모평균(\(\mu_1+\mu_2\))에 대한 신뢰구간을 설정하고 그 식에서 미지의 상수 \(c\)를 올바르게 해석하여 구할 수 있는지를 평가하는 문제이다.
풀이 과정
먼저 각 과수원의 수박 무게는 다음과 같은 정규분포를 따른다.
$$ X \sim N(\mu_1, 400^2),\qquad Y \sim N(\mu_2, 300^2) $$
\(X\)와 \(Y\)가 서로 독립이므로, 합 \(X+Y\)의 분산은 두 분산의 합이다.
$$ \operatorname{Var}(X+Y) =\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) =400^2+300^2=160000+90000=250000 $$
따라서 \(X+Y\)의 표준편차는
$$ \sigma_{X+Y}=\sqrt{250000}=500 $$
이다.
다음으로 각 과수원에서 수박 100개를 임의 추출했을 때의 표본평균 \(\bar X,\bar Y\)를 생각하자. 정규분포에서 표본평균의 분포는
$$ \bar X \sim N\!\left(\mu_1,\frac{400^2}{100}\right), \qquad \bar Y \sim N\!\left(\mu_2,\frac{300^2}{100}\right) $$
이므로 표본평균들의 표준편차는 각각
$$ \sigma_{\bar X}=\frac{400}{\sqrt{100}}=40,\qquad \sigma_{\bar Y}=\frac{300}{\sqrt{100}}=30 $$
이다. 두 표본평균은 서로 독립이므로 \(\bar X+\bar Y\)의 분산은
$$ \operatorname{Var}(\bar X+\bar Y) =\sigma_{\bar X}^2+\sigma_{\bar Y}^2 =40^2+30^2=1600+900=2500 $$
따라서 \(\bar X+\bar Y\)의 표준편차는
$$ \sigma_{\bar X+\bar Y}=\sqrt{2500}=50 $$
문제에서 표본평균값이 각각 \(\bar X=3000,\ \bar Y=2000\)이므로, \(\bar X+\bar Y=5000\)이다. 이때 모평균 \(\mu_1+\mu_2\)에 대한 95% 신뢰구간은 (표준편차 50, 정규분포, \(z_{0.975}=1.96\))
$$ 5000 \pm 1.96 \times 50 $$
즉
$$ (5000-1.96\cdot 50,\ 5000+1.96\cdot 50) $$
가 된다.
주어진 신뢰구간은 \((5000-1.96c,\ 5000+1.96c)\)이므로,
$$ c = 50 $$
임을 알 수 있다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>