정답
\(A\)의 고윳값은 \(4, 10, 20\)이다. \(B\)의 고윳값은 \(-5, -2, -1\)이고, 여기에 대응하는 서로 직교하는 단위 고유벡터들을
\[ \mathbf{e}_1=\frac1{3}(1,2,2),\qquad \mathbf{e}_2=\frac1{3}(2,-2,1),\qquad \mathbf{e}_3=\frac1{3}(2,1,-2) \]
라고 하면 \(\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}\)는 \(\mathbb{R}^3\)의 정규 직교 기저이다.
출제 의도
주어진 벡터들에 대한 작용으로부터 행렬 \(A\)의 고윳값을 구하고, 행렬식 정보를 이용해 나머지 고윳값을 찾게 한다. 또한 조건 \(AB=2\det(B)I\)와 \(B\)의 대칭성을 이용하여 \(B\)를 \(A^{-1}\)의 스칼라배로 표현하고, 이를 통해 \(B\)의 고윳값과 고유벡터(정규 직교 기저)를 구하는 것이 목표이다.
풀이 과정
먼저 주어진 조건 \(\;A(1,2,2)^T=(4,8,8)^T\;\)에서
\[ A\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} =4\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} \]
이므로 \((1,2,2)^T\)는 고유벡터이고 고윳값은 \(\lambda_1=4\)이다.
또한 \(\;A(2,-2,1)^T=(20,-20,10)^T\;\)에서
\[ A\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix} =10\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix} \]
이므로 \((2,-2,1)^T\)는 고유벡터이고 고윳값은 \(\lambda_2=10\)이다.
행렬식이 \(\det(A)=800\)이므로, 나머지 고윳값 \(\lambda_3\)에 대해
\[ \lambda_1\lambda_2\lambda_3=\det(A) \quad\Rightarrow\quad 4\cdot 10\cdot \lambda_3=800 \]
이어서
\[ \lambda_3=\frac{800}{40}=20 \]
따라서 \(A\)의 고윳값은 \(4, 10, 20\)이다.
이제 대칭행렬 \(B\)는
\[ AB=2\det(B)I \]
를 만족한다. \(\det(A)=800\neq0\)이므로 \(A\)는 가역이고, 위 식에서 만약 \(\det(B)=0\)이면 \(AB=0\)이 되어 \(B=0\)인데, 이때 \(\operatorname{tr}(B)=0\)으로 조건 \(\operatorname{tr}(B)<0\)에 모순이다. 따라서 \(\det(B)\neq0\)이고,
\[ B = 2\det(B)\,A^{-1} \]
와 같이 쓸 수 있다. 즉 \(B\)는 \(A^{-1}\)의 스칼라배이므로 \(A\)와 \(B\)는 같은 고유벡터를 가진다.
\(A\)의 고윳값이 \(\lambda_i\)이면 \(A^{-1}\)의 고윳값은 \(\lambda_i^{-1}\) 이고, 위 식에서 \(B\)의 고윳값 \(\mu_i\)는
\[ \mu_i = 2\det(B)\cdot\frac{1}{\lambda_i} \]
이 된다. 편의상
\[ c = 2\det(B) \]
라고 두면
\[ \mu_1=\frac{c}{4},\quad \mu_2=\frac{c}{10},\quad \mu_3=\frac{c}{20} \]
고윳값의 곱이 행렬식이므로
\[ \det(B)=\mu_1\mu_2\mu_3 =\frac{c^3}{4\cdot10\cdot20} =\frac{c^3}{800} \]
인데, \(\det(B)=c/2\)이기도 하므로
\[ \frac{c}{2}=\frac{c^3}{800} \]
\(c\neq0\) 이므로 양변을 \(c\)로 나누면
\[ \frac{1}{2}=\frac{c^2}{800} \quad\Rightarrow\quad c^2=400 \quad\Rightarrow\quad c=\pm 20 \]
또한 \(B\)의 대각합은 고윳값의 합이므로
\[ \operatorname{tr}(B) =\mu_1+\mu_2+\mu_3 =c\left(\frac14+\frac1{10}+\frac1{20}\right) =c\cdot\frac{8}{20} =\frac{2}{5}c \]
그리고 조건 \(\operatorname{tr}(B)<0\)에 의해 \(c<0\), 따라서 \(c=-20\)이고
\[ \det(B)=\frac{c}{2}=-10 \]
이제 \(B\)의 고윳값은
\[ \mu_1 = \frac{c}{4} = -5,\quad \mu_2 = \frac{c}{10} = -2,\quad \mu_3 = \frac{c}{20} = -1 \]
이다.
다음으로 고유벡터를 구한다. 위에서 본 것처럼 \(A\)와 \(B\)는 고유벡터를 공유하므로, \(A\)의 고유벡터를 그대로 사용할 수 있다.
\[ \mathbf{v}_1=(1,2,2)^T,\qquad \mathbf{v}_2=(2,-2,1)^T \]
두 벡터의 내적은
\[ \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 =1\cdot2+2\cdot(-2)+2\cdot1 =2-4+2=0 \]
이므로 서로 직교한다. \(B\)는 대칭행렬이므로 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 서로 직교해야 하는데, 이 조건과 일치한다.
세 번째 고유벡터는 \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\)에 둘 다 직교하는 벡터로 잡으면 된다. 예를 들어
\[ \mathbf{v}_3=\mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2 =(1,2,2)\times(2,-2,1) =(6,3,-6)\propto(2,1,-2) \]
이므로 \(\mathbf{v}_3=(2,1,-2)^T\)를 취할 수 있다. 이들도 서로 직교한다.
각 벡터의 길이는
\[ \|\mathbf{v}_1\|^2=1+4+4=9,\quad \|\mathbf{v}_2\|^2=4+4+1=9,\quad \|\mathbf{v}_3\|^2=4+1+4=9 \]
이므로 모두 길이 \(3\)이고, 정규화하면
\[ \mathbf{e}_1=\frac{1}{3}(1,2,2),\quad \mathbf{e}_2=\frac{1}{3}(2,-2,1),\quad \mathbf{e}_3=\frac{1}{3}(2,1,-2) \]
가 된다. 세 벡터는 서로 직교하고 각각 길이 1이므로 \(\mathbb{R}^3\)의 정규 직교 기저이며, 이때
\[ B\mathbf{e}_1=-5\mathbf{e}_1,\qquad B\mathbf{e}_2=-2\mathbf{e}_2,\qquad B\mathbf{e}_3=-1\mathbf{e}_3 \]
이 성립한다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>