정답
집합 \(\{(x,0)\in A \mid d((-1,0),(x,0))\le \tfrac12\}\) 에 속하는 점의 \(x\)좌표 중 가장 작은 양의 실수는 \(x=\dfrac12\) 이다. 또한 거리공간 \((\mathbb{R}^2_*, d_*)\) 에서 수열 \(\{(0,\tfrac1n)\}\) 은 코시 수열이 아니다.
출제 의도
1) 특이한 거리 함수를 가진 집합에서 거리 계산을 통해 주어진 조건을 만족하는 점을 찾는 법을 묻는다. 2) 거리 함수를 다른 공간에서 끌어오는 사상 \(f\) 를 이용해, 새로운 거리공간에서의 코시 수열 여부를 원래 공간으로 옮겨 판단하게 한다.
풀이 과정
먼저 집합 \[ A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid -1\le x<1\} \] 에서 거리 함수는 \[ d\bigl((x,y),(x',y')\bigr) =\min_{k=-2,0,2}\sqrt{(x-(x'+k))^2+(y-y')^2} \] 이다.
\((-1,0)\) 과 \((x,0)\) 사이의 거리는
\[ d\bigl((-1,0),(x,0)\bigr) =\min_{k=-2,0,2}\bigl|\,(-1)-(x+k)\,\bigr| =\min\{|x+1|,\ |1-x|,\ |x+3|\}. \]
여기서 \(x\in[-1,1)\) 이므로 \(|x+3|=x+3\ge2\) 이고 항상 다른 두 값보다 크므로 무시할 수 있다. 따라서 \[ d\bigl((-1,0),(x,0)\bigr)=\min\{x+1,\ 1-x\}. \]
이 값이 \(\frac12\) 이하가 되기 위한 조건을 \(x\ge0\) 인 경우와 \(x\le0\) 인 경우로 나눈다.
\(x\le0\) 이면 \(x+1\le1-x\) 이므로 최소값은 \(x+1\) 이고 \[ x+1\le\frac12\quad\Rightarrow\quad x\le-\frac12. \] 이는 모두 음수이므로 양의 \(x\)가 나오지 않는다.
\(x\ge0\) 이면 \(1-x\le x+1\) 이므로 최소값은 \(1-x\) 이고 \[ 1-x\le\frac12\quad\Rightarrow\quad x\ge\frac12. \] 또 \(x<1\) 이어야 하므로 \(x\in[\frac12,1)\) 이다. 따라서 조건을 만족하는 양의 \(x\) 가운데 가장 작은 값은 \[ x=\frac12 \] 이다.
이제 두 번째 부분을 풀자. \(\mathbb{R}^2_*=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\) 에서 함수
\[ f:A\to\mathbb{R}^2_*,\qquad f(x,y)=e^y(\cos\pi x,\ \sin\pi x) \]
를 정의하였다. 극좌표로 생각하면, 임의의 \((u,v)\neq(0,0)\) 에 대해
\[ r=\sqrt{u^2+v^2}>0,\quad \theta=\operatorname{Arg}(u+iv)\in[-\pi,\pi), \]
로 두고 \[ f^{-1}(u,v)=\Bigl(\frac{\theta}{\pi},\,\ln r\Bigr) \] 이 된다. 즉 \(f\) 는 전단사이고, \(d_*\) 는
\[ d_*\bigl((u,v),(u’,v’)\bigr) = d\bigl(f^{-1}(u,v), f^{-1}(u’,v’)\bigr) \]
로 정의되므로, \(f\) 는 \((A,d)\) 와 \((\mathbb{R}^2_*,d_*)\) 사이의 등거리사상(isometry)이다. 따라서 \((\mathbb{R}^2_*,d_*)\) 에서 어떤 수열이 코시인지 여부는, 그 수열을 \(f^{-1}\) 로 옮긴 \((A,d)\) 의 수열이 코시인지와 완전히 동치이다.
이제 수열 \[ p_n=(0,\tfrac1n)\in\mathbb{R}^2_* \] 을 보자. 각 항의 역상은
\[ r_n=\frac1n,\quad \theta_n=\frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad f^{-1}(0,\tfrac1n)=\Bigl(\frac12,\ \ln\frac1n\Bigr)=\Bigl(\frac12,\ -\ln n\Bigr). \]
따라서 \((A,d)\) 에서 대응되는 수열은 \[ q_n = \Bigl(\frac12,\ -\ln n\Bigr)\in A. \] 이제 이 \(q_n\) 들의 거리를 계산한다.
\[ d(q_m,q_n) = d\Bigl(\bigl(\tfrac12,-\ln m\bigr),\bigl(\tfrac12,-\ln n\bigr)\Bigr) \]
거리 정의에 의해 \[ d(q_m,q_n)=\min_{k=-2,0,2}\sqrt{( \tfrac12-(\tfrac12+k))^2+(-\ln m+\ln n)^2}. \]
여기서 \(\tfrac12-(\tfrac12+k)=-k\) 이므로 세 후보는 \[ \sqrt{0^2+(\ln\frac{n}{m})^2}=|\ln\frac{n}{m}|,\quad \sqrt{2^2+(\ln\frac{n}{m})^2},\quad \sqrt{(-2)^2+(\ln\frac{n}{m})^2}. \] 두 번째, 세 번째 값은 항상 \(\ge2\) 이므로 최소값은 \[ d(q_m,q_n)=\bigl|\ln\frac{n}{m}\bigr| \] 이다.
이제 수열 \(q_n\) 이 코시라고 가정하고 모순을 보이자. 코시 수열이면 \(\varepsilon=0.1\) 같은 양수에 대해, 어떤 \(N\) 이 존재하여 \(m,n\ge N\) 이면 \[ d(q_m,q_n)=\bigl|\ln\frac{n}{m}\bigr|<0.1 \] 이어야 한다.
하지만 임의의 \(N\) 에 대해 \(m=N,\ n=2N\) 을 택하면 \(m,n\ge N\) 이고 \[ \bigl|\ln\frac{n}{m}\bigr| =\bigl|\ln 2\bigr| \approx0.693>0.1 \] 이 되어 코시 조건을 만족하지 못한다. 따라서 \(q_n\) 은 \((A,d)\) 에서 코시 수열이 아니다.
\(f\) 가 등거리사상이므로, 원래 수열 \(p_n=(0,\tfrac1n)\) 역시 \((\mathbb{R}^2_*, d_*)\) 에서 코시 수열이 아니다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>