정답
\(\displaystyle ①:\;(\rho_2 h_2+\rho_3 h_3)g,\qquad ②:\;\Delta h=\dfrac{\rho_1}{\rho_3}h_1\)
출제 의도
같은 지역에서 얼음이 사라질 때 지각 평형(등중력 상태)을 유지하기 위해 보상면에서의 압력이 어떻게 표현되는지, 그리고 얼음 하중의 제거에 따라 지각이 얼마나 융기하는지를 밀도와 두께를 이용한 식으로 나타낼 수 있는지를 평가하는 문제이다.
풀이 과정
(나)에서는 얼음이 모두 사라지고, 보상면 위에는 지각 두께 \(h_2\)와 맨틀 두께 \(h_3\)만 존재한다. 보상면에서 받는 압력은 위에 있는 각 층의 무게 합이므로
$$ P_{\text{(나)}} = (\rho_2 h_2 + \rho_3 h_3)g $$
이므로 ①은 \((\rho_2 h_2+\rho_3 h_3)g\)이다.
이제 얼음층이 사라지면서 보상면에서의 압력이 다시 처음과 같아지도록(지각 평형 유지) 지각이 융기한다고 본다. 얼음층(밀도 \(\rho_1\), 두께 \(h_1\))이 사라지면서 줄어든 하중은 단위 면적당
$$ \Delta W_{\text{얼음}} = \rho_1 h_1 g $$
이다. 이 하중 감소는 맨틀 물질(밀도 \(\rho_3\))이 \(\Delta h\)만큼 융기하여 메워진다고 보면, 보상면 위의 맨틀 높이가 \(\Delta h\)만큼 증가해 다시 같은 압력을 만들게 된다. 이때 추가된 맨틀 하중은
$$ \Delta W_{\text{맨틀}} = \rho_3 \Delta h\, g $$
이 두 하중이 같아야 하므로
$$ \rho_1 h_1 g = \rho_3 \Delta h\, g \quad\Rightarrow\quad \Delta h = \frac{\rho_1}{\rho_3}h_1 $$
따라서 지각의 상승 높이는 \(\displaystyle \Delta h=\frac{\rho_1}{\rho_3}h_1\)이 되어 ②에 들어갈 식이 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>