정답
\(\displaystyle \mu = I a^2,\qquad \tau = I a^2 B_0\)
출제 의도
전류가 흐르는 평면 도선 고리의 자기쌍극자 모멘트의 크기와 방향을 벡터식 \(\vec{\mu}=I\vec{A}\) 로 이해하고, 균일한 자기장에서 받는 돌림힘 \(\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}\) 의 크기를 각도 관계를 이용해 계산하는 능력을 묻는 문제이다.
풀이 과정
한 변의 길이가 \(a\) 인 정사각형 고리이므로, 고리의 넓이는
$$ A = a^2 $$
이다. 전류 방향은 \(+z\)축에서 보았을 때 시계 방향이므로, 오른손 법칙에 따라 고리의 법선벡터는 \(-\hat{z}\) 방향이다. 따라서 자기쌍극자 모멘트 벡터는
$$ \vec{\mu} = I A\,\hat{n} = I a^2(-\hat{z}) $$
이고, 그 크기는
$$ \mu = |\vec{\mu}| = I a^2 $$
이다.
주어진 자기장은
$$ \vec{B} = \frac{B_0}{\sqrt{2}}(\hat{x}+\hat{y}) $$
이므로, 크기는
$$ |\vec{B}| = \frac{B_0}{\sqrt{2}}\sqrt{1^2+1^2} = B_0 $$
이다. \(\vec{\mu}\) 는 \(-\hat{z}\) 방향, \(\vec{B}\) 는 \(xy\) 평면 안의 방향이므로 두 벡터 사이의 각은 \(\theta=90^\circ\) 이다.
고리가 받는 돌림힘의 크기는
$$ \tau = |\vec{\mu}\times\vec{B}| = \mu B \sin\theta = (I a^2)(B_0)\sin 90^\circ = I a^2 B_0 $$
이 된다.
따라서 고리의 자기쌍극자 모멘트의 크기는 \(\mu = I a^2\), 고리에 작용하는 돌림힘의 크기는 \(\tau = I a^2 B_0\) 이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>