정답
\(v_A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}c,\qquad \dfrac{p_A}{p_B} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}\)
출제 의도
상대론적 에너지 식 \(E=\gamma mc^2\) 와 상대론적 운동량 \(p=\gamma mv\) 를 이용하여, 주어진 총에너지로부터 로렌츠 인자 \(\gamma\) 와 속도를 구하고, 질량이 다른 두 입자의 운동량 비를 계산하는 능력을 평가하는 문제이다.
풀이 과정
질량 \(m\) 인 입자 A의 상대론적 총에너지는
\[ E_A = 3mc^2 \]
이고, 상대론적 에너지 식 \(\;E=\gamma mc^2\;\) 에서
\[ 3mc^2 = \gamma_A mc^2 \quad\Rightarrow\quad \gamma_A = 3 \]
를 얻는다.
로렌츠 인자는 \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\) 이므로, A에 대해
\[ 3 = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v_A}{c}\right)^2}} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1-\left(\dfrac{v_A}{c}\right)^2} = \frac{1}{3} \]
\[ 1-\left(\dfrac{v_A}{c}\right)^2 = \frac{1}{9} \quad\Rightarrow\quad \left(\dfrac{v_A}{c}\right)^2 = \frac{8}{9} \]
\[ \dfrac{v_A}{c} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \quad\Rightarrow\quad v_A = \frac{2\sqrt{2}}{3}c \]
이다.
다음으로 질량 \(2m\) 인 입자 B의 총에너지는
\[ E_B = 4mc^2 \]
이고, 마찬가지로
\[ 4mc^2 = \gamma_B (2m)c^2 \quad\Rightarrow\quad \gamma_B = 2 \]
이다. 따라서
\[ 2 = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v_B}{c}\right)^2}} \quad\Rightarrow\quad 1-\left(\dfrac{v_B}{c}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
\[ \left(\dfrac{v_B}{c}\right)^2 = \frac{3}{4} \quad\Rightarrow\quad v_B = \frac{\sqrt{3}}{2}c \]
이다.
이제 상대론적 운동량 식 \(p=\gamma mv\) 를 이용한다.
입자 A: \[ p_A = \gamma_A m v_A = 3m\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}c = 2\sqrt{2}\,mc \]
입자 B: \[ p_B = \gamma_B(2m)v_B = 2\cdot 2m\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}c = 2\sqrt{3}\,mc \]
따라서 운동량의 비는
\[ \frac{p_A}{p_B} = \frac{2\sqrt{2}\,mc}{2\sqrt{3}\,mc} = \sqrt{\frac{2}{3}} \]
이 된다. 요약하면
\[ v_A = \frac{2\sqrt{2}}{3}c,\qquad \frac{p_A}{p_B} = \sqrt{\frac{2}{3}} \]
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>