[2025. 중등임용 물리] 이상기체와 열기관의 효율

정답

$W_{AB}=P_0V_0\ln 2,\quad \Delta U_{BC}=-\dfrac{3}{4}P_0V_0,\quad \eta=\dfrac{\dfrac12\ln 2}{\ln 2+\dfrac34}$.

단원자 이상기체의 상태 방정식과 내부에너지 식을 이용하여 등온·정적 과정에서의 일과 열, 내부에너지 변화를 계산하고, 한 사이클에서의 순일과 흡수열을 통해 열기관의 효율을 구하는 능력을 평가한다.

기체는 1몰의 단원자 이상기체이므로 상태방정식은 $PV=RT$, 내부에너지는 $U=\dfrac32 RT$ 이다(이하 $n=1$ 몰 생략).

점 A에서 $P_A=P_0,\; V_A=V_0,\; T_A=T_0$ 이므로

$$ P_0V_0=RT_0. $$

B, C, D의 상태를 차례로 구한다. A→B는 등온($T=T_0$)이므로 B에서

$$ P_B=\frac{P_0}{2}\quad\Rightarrow\quad V_B=\frac{RT_0}{P_B}=\frac{RT_0}{P_0/2}=2V_0. $$

B→C는 정적(정적=정적과정, 부피 일정) 과정이므로 $V_C=V_B=2V_0$. 또 C에서 $T_C=\dfrac{T_0}{2}$ 이므로

$$ P_C=\frac{RT_C}{V_C} =\frac{R(T_0/2)}{2V_0} =\frac{P_0}{4}. $$

C→D는 등온($T=T_0/2$) 과정, D→A는 정적 과정이므로 D에서

$$ P_D=\frac{P_0}{2},\quad T_D=\frac{T_0}{2},\quad V_D=\frac{RT_D}{P_D}=\frac{R(T_0/2)}{P_0/2}=V_0. $$

이제 각 과정의 일을 계산한다.

등온 A→B: $ W_{AB}=\displaystyle\int_{V_0}^{2V_0}\frac{RT_0}{V}\,dV =RT_0\ln\frac{2V_0}{V_0} =RT_0\ln2 =P_0V_0\ln2. $
정적 B→C: 부피 일정이므로 $W_{BC}=0$.
등온 C→D: $ W_{CD}=RT_C\ln\frac{V_D}{V_C} =R\frac{T_0}{2}\ln\frac{V_0}{2V_0} = -\frac{RT_0}{2}\ln2 =-\frac12 P_0V_0\ln2. $
정적 D→A: $W_{DA}=0$.

따라서 한 사이클에서 기체가 한 순일은

$$ W_{\text{net}}=W_{AB}+W_{BC}+W_{CD}+W_{DA} =P_0V_0\ln2-\frac12P_0V_0\ln2 =\frac12P_0V_0\ln2. $$

B→C 과정에서 내부에너지 변화를 구하면, 정적 과정이므로 온도 변화만 보면 된다.

$$ \Delta U_{BC} =U_C-U_B =\frac32R\left(T_C-T_B\right) =\frac32R\left(\frac{T_0}{2}-T_0\right) =-\frac34RT_0 =-\frac34P_0V_0. $$

이로써 $\Delta U_{BC}$ 가 구해졌다.

이제 각 과정에서의 열 $Q$ 를 구해 열기관의 효율을 찾는다. 1법칙 $Q=\Delta U+W$ 를 이용하면

A→B (등온): $\Delta U_{AB}=0$ 이므로 $Q_{AB}=W_{AB}=P_0V_0\ln2$.
B→C (정적): $W_{BC}=0$ 이므로 $Q_{BC}=\Delta U_{BC}=-\dfrac34P_0V_0$.
C→D (등온): $\Delta U_{CD}=0$ 이므로 $Q_{CD}=W_{CD}=-\dfrac12P_0V_0\ln2$.
D→A (정적): $ \Delta U_{DA}=U_A-U_D =\frac32RT_0-\frac34RT_0 =\frac34RT_0 =\frac34P_0V_0, $ $W_{DA}=0$ 이므로 $Q_{DA}=\dfrac34P_0V_0$.

열기관의 효율은 $ \eta=\dfrac{\text{순일}}{\text{흡수한 열}} $ 이므로, 흡열 과정(열이 양수인 과정)은 A→B, D→A 이다.

$$ Q_{\text{in}}=Q_{AB}+Q_{DA} =P_0V_0\ln2+\frac34P_0V_0 =P_0V_0\left(\ln2+\frac34\right). $$

따라서

$$ \eta =\frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}} =\frac{\frac12P_0V_0\ln2}{P_0V_0\left(\ln2+\frac34\right)} =\frac{\frac12\ln2}{\ln2+\frac34}. $$

정리하면,

$$ W_{AB}=P_0V_0\ln2,\qquad \Delta U_{BC}=-\frac34P_0V_0,\qquad \eta=\frac{\frac12\ln2}{\ln2+\frac34}. $$

<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>