정답
\(-a\le x\le a\) 에서 섭동항은 \[ H’ = \frac12 m\omega^2\,(a^2-x^2) \] 이다. 1차 섭동론에서 전해밀토니안의 바닥상태 에너지는 \[ E \simeq E_0+\langle\psi_0|H’|\psi_0\rangle \] 이다. \(m=\hbar=\omega=1\) 일 때, 바닥상태의 1차 에너지 보정값은 \[ \Delta E^{(1)} \simeq \frac{2}{3\sqrt{\pi}}\,a^3 \] 이므로 \[ E \simeq \frac12 +\frac{2}{3\sqrt{\pi}}\,a^3 \quad(a\ll1). \]
출제 의도
조금 변형된 조화진동자 퍼텐셜을 원래 조화진동자 해밀토니안과 섭동항으로 분리하고, 1차 섭동론으로 바닥상태 에너지의 보정을 계산하는 능력을 평가한다. 특히, 파동함수의 확률밀도를 이용해 섭동항의 기대값을 적분으로 계산하고, 주어진 적분 근사식을 활용하여 작은 매개변수 \(a\) 에 대한 근사 해를 얻도록 하는 것이 핵심이다.
풀이 과정
주어진 퍼텐셜은
\[ V(x)= \begin{cases} \dfrac12 m\omega^2x^2 & (x<-a,\;x>a),\\[4pt] \dfrac12 m\omega^2a^2 & (-a\le x\le a) \end{cases} \]
이고, 섭동 전 해밀토니안은 조화진동자
\[ H_0=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}+\dfrac12 m\omega^2x^2 \]
이다. 전체 해밀토니안 \(H\) 를
\[ H=H_0+H’ \]
로 쓸 때, 섭동항은 \(V(x)-\dfrac12 m\omega^2x^2\) 이므로, \(|x|>a\) 에서는 0, \(-a\le x\le a\) 에서는
\[ H’ = \frac12 m\omega^2\left(a^2-x^2\right) \]
이 된다.
섭동 전 바닥상태 에너지와 파동함수를 각각 \(E_0,\ \psi_0(x)\) 라 하면, 1차 섭동론에서 바닥상태 에너지는
\[ E \simeq E_0+\Delta E^{(1)},\qquad \Delta E^{(1)}=\langle\psi_0|H’|\psi_0\rangle. \]
즉 적분으로는
\[ \Delta E^{(1)} =\int_{-\infty}^{\infty}\psi_0^*(x)H’\psi_0(x)\,dx =\frac12 m\omega^2\int_{-a}^{a}(a^2-x^2)\lvert\psi_0(x)\rvert^2\,dx. \]
이제 \(m=\hbar=\omega=1\) 으로 두면 자료에서
\[ E_0=\frac12,\qquad \psi_0(x)=\left(\frac1\pi\right)^{1/4}\exp\!\left(-\frac{x^2}{2}\right) \]
이므로
\[ \lvert\psi_0(x)\rvert^2 =\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}. \]
따라서 1차 에너지 보정은
\[ \Delta E^{(1)} =\frac12\int_{-a}^{a}(a^2-x^2)\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\,dx =\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_{-a}^{a}(a^2-x^2)e^{-x^2}\,dx. \]
적분함수는 짝함수이므로
\[ \Delta E^{(1)} =\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{a}(a^2-x^2)e^{-x^2}\,dx =\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left[ a^2\int_0^a e^{-x^2}dx -\int_0^a x^2e^{-x^2}dx \right]. \]
자료에서 \(|x|\ll1\) 일 때
\[ \int_0^x e^{-t^2}dt \simeq x-\frac{x^3}{3},\qquad \int_0^x t^2e^{-t^2}dt \simeq \frac{x^3}{3} \]
이므로, \(x=a\) 를 대입하면
\[ \int_0^a e^{-x^2}dx \simeq a-\frac{a^3}{3},\qquad \int_0^a x^2e^{-x^2}dx \simeq \frac{a^3}{3}. \]
이를 이용하면
\[ \Delta E^{(1)} \simeq \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left[ a^2\left(a-\frac{a^3}{3}\right) -\frac{a^3}{3} \right] =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \left[ a^3-\frac{a^5}{3}-\frac{a^3}{3} \right] \]
\[ =\frac{1}{\sqrt{\pi}} \left[ \frac{2}{3}a^3-\frac{1}{3}a^5 \right] \simeq \frac{2}{3\sqrt{\pi}}a^3 \quad(a\ll1,\ a^5\ \text{항 무시}). \]
따라서 1차 보정을 포함한 바닥상태 에너지는
\[ E \simeq E_0+\Delta E^{(1)} \simeq \frac12+\frac{2}{3\sqrt{\pi}}a^3 \]
이 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>