정답
영점 에너지는 \(E_0=\dfrac{h^2}{4mL^2}\) 이다. 바닥 상태에서 네 전자의 전자 배치는 \((n_1,n_2)=(1,1)\) 궤도에 스핀 짝지은 전자 2개, \((1,2)\), \((2,1)\) 궤도에 각각 스핀이 같은 전자 1개씩이다. 홀전자 수는 \(2\)개이고, 바닥 상태 전자 배치에서 점유되지 않은 최저 에너지 준위의 파동함수는 \[ \psi_{2,2}(x,y)=\frac{2}{L}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{2\pi y}{L}\right) \] 이다.
출제 의도
2차원 무한 퍼텐셜 정사각형 상자에서의 에너지 고유값과 파동함수를 이용해 영점 에너지를 구하고, 다전자(4전자) 계에서 스핀을 고려한 바닥 상태 전자 배치를 결정하며, 그에 따른 홀전자 수와 최저 미점유 궤도의 파동함수를 찾는 능력을 평가한다.
풀이 과정
2차원 정사각형 상자에서 한 입자의 에너지는
$$ E_{n_1,n_2} = (n_1^2+n_2^2)\frac{h^2}{8mL^2}\qquad (n_1,n_2=1,2,\dots) $$
이다. 한 입자의 바닥 상태는 \(n_1=n_2=1\) 이므로 영점 에너지는
$$ E_0=E_{1,1}=(1^2+1^2)\frac{h^2}{8mL^2} =2\frac{h^2}{8mL^2}=\frac{h^2}{4mL^2} $$
가 된다.
에너지 준위를 낮은 것부터 나열하면, 계수 \((n_1^2+n_2^2)\) 의 값이
\[ (1,1):2,\quad (1,2),(2,1):5,\quad (2,2):8,\quad (1,3),(3,1):10,\dots \]
이므로, 에너지가 낮은 순으로 궤도는 \((1,1)\), 그 다음으로 \((1,2)\), \((2,1)\) (서로 축퇴), 그 다음이 \((2,2)\) 이다.
각 공간 궤도에는 스핀 때문에 전자 2개까지 들어갈 수 있다. 전자 4개를 바닥 상태로 채우면, 먼저 가장 낮은 \((1,1)\) 궤도에 스핀 짝지어 2개를 채우고, 그 다음 축퇴된 \((1,2)\), \((2,1)\) 궤도에 각각 1개씩, 스핀은 평행하게 채운다(쭌의 원리, Hund의 규칙).
따라서 바닥 상태 전자 배치는
- \((1,1)\) 궤도: 전자 2개 (스핀 ↑↓)
- \((1,2)\) 궤도: 전자 1개 (예: 스핀 ↑)
- \((2,1)\) 궤도: 전자 1개 (스핀 ↑)
가 되고, 짝지어지지 않은 전자(홀전자)는 \((1,2)\) 와 \((2,1)\) 에 있는 2개이므로 홀전자 수는 \(2\)이다.
이 바닥 상태 배치에서 아직 전자가 점유하지 않은 가장 낮은 에너지 준위는 \((n_1,n_2)=(2,2)\) 궤도이다. 2차원 상자의 파동함수는
$$ \psi_{n_1,n_2}(x,y) =\frac{2}{L} \sin\!\left(\frac{n_1\pi x}{L}\right) \sin\!\left(\frac{n_2\pi y}{L}\right) $$
이므로, 해당 준위의 파동함수는
$$ \psi_{2,2}(x,y) =\frac{2}{L} \sin\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right) \sin\!\left(\frac{2\pi y}{L}\right) $$
이 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>