정답
입방 단위 셀 하나에 있는 이온 수는 \(X\) 이온 \(4\)개, \(Y\) 이온 \(4\)개이다. 단위 셀 안에서 가장 가까운 \(X\)–\(X\) 이온간 거리는 \(\sqrt{6}\,r\) 이고, 입방 단위 셀 부피에서 \(X\) 이온이 차지하는 부피의 비는 \(\displaystyle \frac{\pi}{36\sqrt{3}}\) 이다.
출제 의도
입방 조밀 쌓임(fcc) 격자 속 정사면체 공공에 양이온이 들어간 구조(예: ZnS형 구조)에서, 한 단위 셀에 포함되는 양이온·음이온의 개수를 세고, 격자 점의 좌표를 사용해 이온 사이 거리를 구하며, 이온들을 구(sphere)로 보아 부피 비를 계산하는 능력을 묻는 문제이다.
풀이 과정
먼저 \(Y^-\) 이온이 입방 조밀 쌓임(fcc) 격자를 이룬다고 하였으므로, 한 입방 단위 셀에 있는 \(Y\) 이온의 개수는
코너 8개 × \( \frac18\) + 면 중심 6개 × \( \frac12\) \(=1+3=4\) 개이다.
\(X^+\) 이온은 \(Y^-\) 네 개가 이루는 정사면체 중심, 즉 fcc 격자의 정사면체 공공(tetrahedral hole)에 들어 있다. fcc 한 셀에는 정사면체 공공이 8개 있으나, 그림과 같이 그 절반인 4개만이 점유되어 있다. 따라서 한 단위 셀에 있는 \(X\) 이온의 개수도 4개이다.
또한 이 구조에서 각 \(X\) 이온은 4개의 \(Y\) 이온에 둘러싸여 있고, 각 \(Y\) 이온도 4개의 \(X\) 이온과 접하므로, 결정 전체의 조성은 \(X:Y = 1:1\) 이 된다.
이제 단위 셀 안에서 가장 가까운 \(X\)–\(X\) 이온 사이의 거리를 구한다. 편의를 위해 단위 셀의 모서리 길이를 \(l\) 이라 하면, fcc 격자에서 정사면체 공공의 한 예는 좌표
\((\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14),\quad (\tfrac14,\tfrac34,\tfrac34),\quad (\tfrac34,\tfrac14,\tfrac34),\quad (\tfrac34,\tfrac34,\tfrac14)\)
에 놓여 있다(좌표는 \((x/l,y/l,z/l)\) 의 형태). 예를 들어 두 \(X\) 이온이 각각 \((\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)\) 와 \((\tfrac14,\tfrac34,\tfrac34)\) 에 있을 때, 이 둘 사이의 벡터는
\[ \Delta \vec r = l\left(0,\frac12,\frac12\right) \]
이므로, 두 \(X\) 이온 사이 거리 \(d_{XX}\) 는
\[ d_{XX} = \lvert\Delta \vec r\rvert = l\sqrt{\left(0\right)^2+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2} = \frac{l}{\sqrt{2}}. \]
문제에서 단위 셀 모서리 길이와 \(Y\) 이온 반지름의 관계를 \(l=2\sqrt{3}\,r\) 라고 주었으므로,
\[ d_{XX} = \frac{2\sqrt{3}\,r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{\frac32}\,r = \sqrt{6}\,r \]
이다.
다음으로 \(X\) 이온의 반지름을 구한다. \(X\) 와 인접한 \(Y\) 사이의 이온간 거리(중심–중심 거리)를 \(a\) 라 하면, 두 이온이 접한다고 가정하므로
\[ a = r_Y + r_X = r + r_X. \]
문제에서 \(a = \tfrac32 r\) 라고 주었으므로
\[ r_X = a – r = \frac32 r – r = \frac12 r. \]
한 \(X\) 이온의 부피는
\[ V_X^{(1)} = \frac{4}{3}\pi r_X^3 = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{r}{2}\right)^3 = \frac{\pi}{6}r^3 \]
이고, 단위 셀 안에는 \(X\) 이온이 4개 있으므로 \(X\) 이온 전체가 차지하는 부피는
\[ V_X^{\text{(tot)}} = 4V_X^{(1)} = \frac{2\pi}{3}r^3. \]
단위 셀 전체 부피는
\[ V_{\text{cell}} = l^3 = (2\sqrt{3}\,r)^3 = 8(\sqrt{3})^3 r^3 = 24\sqrt{3}\,r^3. \]
따라서 한 입방 단위 셀 부피에서 \(X\) 이온이 차지하는 부피의 비율은
\[ \frac{V_X^{\text{(tot)}}}{V_{\text{cell}}} = \frac{(2\pi/3)r^3}{24\sqrt{3}\,r^3} = \frac{2\pi}{72\sqrt{3}} = \frac{\pi}{36\sqrt{3}} \]
이 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>