정답
\(a_{n+1}=f(n)a_n\) 에서 \(f(n)=\displaystyle\frac{2n+2}{2n+3}\) 이고, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n)^{\alpha}\) 가 수렴하는 실수 \(\alpha\) 의 범위는 \(\alpha>2\) 이다.
출제 의도
적분으로 주어진 수열에 대해 적분 계산(부분적분)을 이용해 점화식을 구하고, 그 점화식으로부터 닫힌형을 얻은 뒤 스털링 근사식을 이용해 항의 크기를 추정하여 급수의 수렴 범위를 판정하는 것이 목적이다.
풀이 과정
수열은 \[ a_n=\int_0^1 (1-x^2)^n\,dx \] 로 정의되어 있다.
먼저 \(a_{n+1}\) 을 \(a_n\) 으로 나타내자.
\(x(1-x^2)^{\,n+1}\) 의 미분을 계산하면 \[ \frac{d}{dx}\bigl[x(1-x^2)^{n+1}\bigr] =(1-x^2)^{n+1}-2(n+1)x^2(1-x^2)^n =(1-x^2)^n\bigl(1-(2n+3)x^2\bigr) \] 이다.
양변을 \(0\)에서 \(1\)까지 적분하면, 좌변은 \[ \bigl[x(1-x^2)^{n+1}\bigr]_0^1=0 \] 이므로
\[ 0=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx-(2n+3)\int_0^1 x^2(1-x^2)^n\,dx \]
즉 \[ \int_0^1 x^2(1-x^2)^n\,dx = \frac{a_n}{2n+3} \] 을 얻는다.
이제 \[ a_{n+1}=\int_0^1 (1-x^2)^{n+1}\,dx =\int_0^1 (1-x^2)^n(1-x^2)\,dx \] 이므로
\[ a_{n+1}=a_n-\int_0^1 x^2(1-x^2)^n\,dx =a_n-\frac{a_n}{2n+3} =\frac{2n+2}{2n+3}a_n. \]
따라서 \[ f(n)=\frac{2n+2}{2n+3}. \]
이제 \(a_n\) 의 크기를 보다 명확히 알기 위해 점화식을 곱으로 전개한다.
\[ a_0=\int_0^1 1\,dx = 1, \quad a_n=a_0\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2k+2}{2k+3} =\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2k+2}{2k+3}. \]
분자와 분모를 짝지어 쓰면
\[ a_n=\frac{2\cdot4\cdot\cdots\cdot 2n} {3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n+1)} =\frac{2^n n!}{3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n+1)}. \]
홀수들의 곱은 double factorial 로 \[ 3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n+1)=\frac{(2n+1)!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)} =\frac{(2n+1)!}{2^n n!} \] 이므로
\[ a_n=\frac{2^n n!}{(2n+1)!/(2^n n!)} =\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}. \]
이제 주어진 스털링 부등식 \[ n^{\,n+\frac12}e^{-n}\le n!\le n^{\,n+\frac12}e^{1-n} \] 을 \(n!\) 과 \((2n+1)!\) 에 각각 적용하여 \(a_n\) 의 대략적인 크기를 구한다.
위 부등식을 이용하면 어떤 상수 \(C_1,C_2>0\) 이 존재하여 모든 충분히 큰 \(n\) 에 대해
\[ C_1\,\frac1{\sqrt{n}} \le a_n \le C_2\,\frac1{\sqrt{n}} \]
임을 얻을 수 있다. (계산 과정에서 지수 함수의 항들은 상수배로만 남고, 주항은 \((2n+1)! \) 과 \(n!^2\) 의 거듭제곱 부분에서 \(a_n\) 이 \(n^{-1/2}\) 에 비례함을 준다.)
따라서 \[ a_n \asymp \frac{1}{\sqrt{n}} \quad (n\to\infty) \] 라고 볼 수 있다.
그러므로 \[ (a_n)^{\alpha} \asymp n^{-\alpha/2}. \]
급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{-p}\) 는 \(p>1\) 일 때 수렴하고 \(p\le1\) 일 때 발산하므로, \[ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n)^{\alpha} \] 의 수렴 여부는 \(p=\alpha/2\) 와 같은 문제이고, 따라서 \[ \frac{\alpha}{2}>1 \iff \alpha>2 \] 일 때에만 수렴한다.
결론적으로, \[ f(n)=\frac{2n+2}{2n+3},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}(a_n)^{\alpha}\ \text{는}\ \alpha>2 \text{에서 수렴한다.} \]
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>