정답
\([K:\mathbb{Q}]=506\) 이고, 조건을 만족시키는 체 \(E\) 의 개수는 \(2\)개이다.
출제 의도
다항식 \(x^{23}-88\) 의 분해체 차수를 계산하기 위해 분해체의 구조를 파악하고, 갈루아 군의 차수를 이용해 정수론·군론적인 논리를 전개할 수 있는지를 묻는다. 또한 갈루아 군의 차수가 제곱인수가 없을 때 군이 순환군이 됨을 이용하여, 중간체들의 차수 조건을 만족시키는 중간체의 개수를 정수론적으로 세게 하는 것이 목표이다.
풀이 과정
먼저 다항식 \(x^{23}-88\in\mathbb{Q}[x]\)을 보자. 상수항 88은 소수 11로 나누어 떨어지고 \(11^2\nmid 88\) 이므로, 아이젠슈타인 정리(Eisenstein)로부터 \(x^{23}-88\) 은 \(\mathbb{Q}\) 위에서 기약이다. 따라서
$$ \alpha:=\sqrt[23]{88} $$
에 대한 체 \(\mathbb{Q}(\alpha)\) 는 \(\mathbb{Q}\) 위에서 차수
$$ [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=23 $$
을 갖는다.
이 다항식의 모든 근은 \[ \alpha,\ \zeta\alpha,\ \zeta^2\alpha,\ \dots,\ \zeta^{22}\alpha \] 꼴인데, 여기서 \(\zeta\) 는 23제 원시근(primitive 23rd root of unity)이다. 그러므로 분해체 \(K\) 는
$$ K=\mathbb{Q}(\alpha,\zeta) $$
로 둘 수 있다.
한편 \(\zeta\) 의 최소다항식은 23차 원시근의 분할다항식 \(\Phi_{23}(x)\) 이고 차수는
$$ \deg\Phi_{23}=\varphi(23)=22 $$
이다. 따라서
$$ [\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]=22 $$
이다.
이제 분해체 \(K\) 의 차수를 구하자. 우선
$$ [K:\mathbb{Q}] \mid [\mathbb{Q}(\alpha,\zeta):\mathbb{Q}] \le [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]\,[\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}] =23\cdot22=506. $$
또한 \(x^{23}-88\) 의 서로 다른 근 23개에 갈루아 군이 작용하므로, 갈루아 군 \(\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\) 의 차수 \(|\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})|=[K:\mathbb{Q}]\) 는 23의 배수이다.
따라서
$$ [K:\mathbb{Q}] \text{ 는 } 23 \text{ 의 배수이고 } [K:\mathbb{Q}] \mid 23\cdot22. $$
가능한 값은 \(23\) 또는 \(23\cdot22\) 뿐이다.
만약 \([K:\mathbb{Q}]=23\) 이라면, \(\zeta\in K\) 가 되므로 \(\zeta\) 의 최소다항식 차수 22가 23을 나누어야 한다. 이는 불가능하다. 따라서
$$ [K:\mathbb{Q}]=23\cdot22=506. $$
이로써 첫 번째 물음에 답하였다.
이제 두 번째 물음을 풀자. 분해체 \(K\) 는 \(\mathbb{Q}\) 위에서 분해체이므로 \(\mathbb{Q}\) 위의 갈루아 확장이고, 따라서
$$ |\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})|=[K:\mathbb{Q}]=506=2\cdot11\cdot23 $$
이다. 이 수는 서로 다른 세 소수의 곱, 즉 제곱인수가 없는 수이다.
제곱인수가 없는 차수를 갖는 유한군은 항상 순환군이므로,
$$ G:=\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong C_{506} $$
이다. 순환군에서는 약수마다 정확히 하나의 부분군이 존재한다. 갈루아 이론의 기본 정리에 따라, 중간체 \(E\) (\(\mathbb{Q}\le E\le K\)) 들은 \(G\) 의 부분군들과 일대일 대응하고, 차수 관계는
$$ [K:E]=|H|,\quad [E:\mathbb{Q}]=\frac{|G|}{|H|} $$
꼴로 주어진다. 여기서 \(H=\mathrm{Gal}(K/E)\) 이다.
따라서 정수 \[ m=[K:E],\quad n=[E:\mathbb{Q}] \] 는
$$ mn=[K:\mathbb{Q}]=506 $$
을 만족하고, 동시에 문제의 조건에 의해
$$ m-n=[K:E]-[E:\mathbb{Q}] $$
이 \(1010\) 의 양의 약수여야 한다.
이제 단순히 정수 쌍 \((m,n)\) 을 구하면 충분하다. 506의 소인수분해는
$$ 506=2\cdot11\cdot23 $$
이므로, 양의 약수는
$$ 1,\ 2,\ 11,\ 22,\ 23,\ 46,\ 253,\ 506 $$
이고, 각 \(n\) 에 대해 \(m=506/n\) 으로 놓는다. 또한 \(m-n\) 이 양수여야 하므로 \(m>n\) 인 경우만 본다 (즉 \(n\le\sqrt{506}\approx22.5\)).
\[ \begin{array}{c|c|c} n=[E:\mathbb{Q}] & m=[K:E]=506/n & m-n \\ \hline 1 & 506 & 505 \\ 2 & 253 & 251 \\ 11 & 46 & 35 \\ 22 & 23 & 1 \end{array} \]
이제 각 \(m-n\) 이 1010의 양의 약수인지 확인한다. \(1010=2\cdot5\cdot101\) 이므로 약수는 \(1,2,5,10,101,202,505,1010\) 이다.
- \(505\) 는 1010의 약수이다.
- \(251\) 은 1010을 나누지 못한다.
- \(35\) 도 1010을 나누지 못한다.
- \(1\) 은 당연히 1010의 약수이다.
따라서 조건을 만족시키는 쌍은
\[ (m,n)=(506,1),\ (23,22) \]
뿐이다. 즉
\[ [E:\mathbb{Q}]=1\ (\!E=\mathbb{Q}),\quad [E:\mathbb{Q}]=22 \]
인 두 중간체만이 존재한다.
순환군 \(C_{506}\) 에서 주어진 차수를 갖는 부분군은 하나뿐이므로, 해당 차수를 갖는 중간체도 각각 하나씩 존재한다. 따라서
\[ \mathbb{Q}\le E\le K,\ [K:E]-[E:\mathbb{Q}] \text{ 가 }1010\text{ 의 양의 약수인 }E \]
는 모두 \(2\)개이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>