정답
\(B\to C\) 과정에서 흡수되는 열량은 \[ Q_{BC}=\frac{5}{2}R\,(T_C-T_B) \] 이다.
열기관의 효율은 \[ \eta=\dfrac{W_{\text{cycle}}}{Q_{\text{in}}} =\dfrac{T_A-T_B+T_C-T_D}{T_C-T_B} \] 이다.
\(C\to D\) 과정에서 기체가 한 일은 \[ W_{CD}=\frac{3}{2}R\,(T_C-T_D) \] 이다.
출제 의도
단원자 이상기체의 정압·정적 비열과 단열 관계식을 이용하여, 여러 과정이 결합된 순환 과정에서 각 구간의 열과 일을 온도만으로 표현하고, 전체 순환에서의 일과 효율을 온도로 나타낼 수 있는지를 묻는 문제이다.
풀이 과정
기체는 단원자 이상기체 1몰이므로 정적 비열과 정압 비열은 각각
\[ C_V=\frac{3}{2}R,\qquad C_P=\frac{5}{2}R \]
이다. 또 이상기체 내부에너지는 \(U=C_V T\) 이다.
먼저 \(B\to C\) 과정은 정압 과정이므로, 기체에 흡수되는 열은
\[ Q_{BC}=nC_P\Delta T =1\cdot C_P (T_C-T_B) =\frac{5}{2}R\,(T_C-T_B). \]
다음으로 각 구간에서 기체가 한 일을 온도로 나타낸다.
단열 과정에서 \(Q=0\) 이므로, 첫 번째 법칙 \(\Delta U = Q-W\) 에서
\[ W = -\Delta U = C_V (T_{\text{i}}-T_{\text{f}}) \]
이 된다. 따라서
\[ W_{AB}=C_V(T_A-T_B),\qquad W_{CD}=C_V(T_C-T_D). \]
정압 과정에서는 \(W = P\Delta V = nR\Delta T\) 이므로
\[ W_{BC}=R(T_C-T_B),\qquad W_{DA}=R(T_A-T_D). \]
따라서 한 순환에서 기체가 한 총 일은
\[ \begin{aligned} W_{\text{cycle}} &=W_{AB}+W_{BC}+W_{CD}+W_{DA} \\ &=C_V(T_A-T_B+T_C-T_D) +R(T_C-T_B+T_A-T_D) \\ &=\left(C_V+R\right)(T_A-T_B+T_C-T_D) \\ &=\frac{5}{2}R\,(T_A-T_B+T_C-T_D). \end{aligned} \]
한 주기 동안 흡수된 열은 정압 팽창 과정 \(B\to C\) 에서의 열 \(Q_{BC}\)뿐이므로, 열기관의 효율은
\[ \eta =\frac{W_{\text{cycle}}}{Q_{\text{in}}} =\frac{W_{\text{cycle}}}{Q_{BC}} =\frac{\frac{5}{2}R(T_A-T_B+T_C-T_D)} {\frac{5}{2}R(T_C-T_B)} =\frac{T_A-T_B+T_C-T_D}{T_C-T_B}. \]
마지막으로 \(C\to D\) 과정은 단열이므로 위에서 구한 식을 그대로 쓰면, 기체가 한 일은
\[ W_{CD}=C_V (T_C-T_D) =\frac{3}{2}R\,(T_C-T_D). \]
이로써 요구한 세 양 \(Q_{BC},\ \eta,\ W_{CD}\)를 모두 \(T_A,T_B,T_C,T_D\)로 나타낼 수 있다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>