정답
회전축에 대한 원판의 관성모멘트는 \(I=\dfrac12MR^2\), 회전축이 원판에 준 충격량의 크기는 \(2mv\), 탄성 충돌 후 물체가 정지하고 원판이 회전할 때 질량비는 \(\dfrac{M}{m}=2\) 이다.
출제 의도
원판의 관성모멘트를 수직축 정리와 평행축 정리로 계산하는 법, 충격량과 선운동량·각운동량 보존 법칙을 결합하는 법, 그리고 탄성 충돌 조건(역학적 에너지 보존)을 회전계에 적용하는 능력을 평가하는 문제이다.
풀이 과정
좌표계를 다음처럼 잡는다. 원판의 평면을 \(y\!-\!z\) 평면이라 하고, 고정된 회전축은 \(x\)축과 평행하며 원판의 중심 \(C\)에서 \(y\)방향으로 거리 \(\dfrac{R}{2}\) 떨어진 직선이다. 점 \(P\)는 \(C\)에서 \(y\)방향으로 \(-\dfrac{R}{2}\) 떨어진 곳에 있으므로, 회전축과 \(P\) 사이의 최단거리는 \(R\) 이다. 물체 \(m\)은 원판에 수직인 방향(즉 \(x\)축에 수직인 방향, 여기서는 \(x\)축과 직교하는 \(z\)방향)으로 점 \(P\)를 향해 속력 \(v\)로 들어온다.
여기에서부터 수식을 MathJax로 출력한다.
먼저 회전축에 대한 원판의 관성모멘트를 구한다. 질량 중심을 지나는, 원판에 수직인 축에 대한 관성모멘트는 자료에서
$$ I_z = \frac12 M R^2 $$
이다. 원판은 얇은 평판이므로 수직축 정리에 의해
$$ I_z = I_x^{(C)} + I_y^{(C)} $$
이고, 원판이 원형이므로 대칭성 때문에 \(I_x^{(C)} = I_y^{(C)}\) 이다. 따라서
$$ I_x^{(C)} = I_y^{(C)} = \frac14 M R^2 $$
이다. 회전축은 \(x\)축과 평행이고 중심으로부터 거리 \(\dfrac{R}{2}\)만큼 떨어져 있으므로 평행축 정리를 적용하면
$$ I = I_x^{(C)} + M\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac14 M R^2 + \frac14 M R^2 = \frac12 M R^2 $$
을 얻는다.
다음으로, 충돌하는 동안 회전축이 원판에 준 충격량을 구한다. 충돌 전에는 물체만 운동하고 있으므로, 전체 선운동량(예를 \(z\)방향이라 하자)은
$$ P_{z,\text{초기}} = m v $$
이다. 충돌이 끝난 직후를 일반적으로 생각하면, 물체의 속도는 어떤 값이든 될 수 있으나 여기서는 최종적으로 물체가 정지하는 경우를 살펴보자. 물체가 정지하므로 물체의 최종 선운동량은 0이고, 원판은 회전축을 중심으로 회전하므로 원판의 질량 중심 \(C\)는 회전축을 중심으로 반지름 \(\dfrac{R}{2}\)인 원운동을 한다. 각속도를 \(\omega\)라 하면 질량 중심의 속도는
$$ v_C = \omega \frac{R}{2} $$
이고 방향은 \(z\)축의 음의 방향이라고 두면, 원판의 선운동량은
$$ P_{z,\text{원판}} = – M \omega \frac{R}{2} $$
이다.
각운동량은 회전축에 대해 보존된다. 물체는 회전축에서 거리 \(R\) 떨어진 점 \(P\)를 향해 수직으로 들어오므로, 회전축에 대한 물체의 초기 각운동량의 크기는
$$ L_{\text{초기}} = m v R $$
이다. 충돌 후에는 물체가 정지하고 원판만 회전하므로 최종 각운동량은
$$ L_{\text{최종}} = I\omega $$
이다. 각운동량 보존에 의해
$$ m v R = I\omega = \left(\frac12 M R^2\right)\omega $$
이므로, 각속도는
$$ \omega = \frac{2 m v}{M R} $$
이다. 따라서 원판의 선운동량은
$$ P_{z,\text{원판}} = – M \cdot \frac{2 m v}{M R}\cdot \frac{R}{2} = – m v $$
이 된다.
이제 원판에 작용한 충격량을 보자. 충돌 동안 원판에 작용한 충격량은 점 \(P\)에서 물체가 가한 충격량 \(\vec{J}_P\)와 회전축이 가한 충격량 \(\vec{J}_A\)의 합이다. 물체는 속도가 \(v\)에서 0으로 변하므로, 물체가 받은 충격량은 \(-m v\) 이고, 따라서 원판이 점 \(P\)에서 받은 충격량은
$$ J_P = + m v $$
이다. 원판의 선운동량 변화는
$$ \Delta P_{z,\text{원판}} = P_{z,\text{원판}} – 0 = – m v $$
이므로, 선운동량 정리에 의해
$$ \Delta P_{z,\text{원판}} = J_P + J_A $$
에서
$$ – m v = m v + J_A \quad\Rightarrow\quad J_A = -2 m v $$
이다. 따라서 회전축이 원판에 준 충격량의 크기는
$$ |J_A| = 2 m v $$
이다. (방향은 물체의 초기 운동 방향의 반대 방향이다.)
마지막으로, 물체가 \(P\)에서 탄성 충돌하여 물체는 정지하고 원판은 회전한다고 했으므로, 역학적 에너지가 보존된다. 충돌 전후의 운동에너지 보존식을 쓰면
$$ \frac12 m v^2 = \frac12 I\omega^2 $$
이다. 이미 각운동량 보존식에서 \(I\omega = m v R\)를 얻었으므로 이를 대입하면
$$ \frac12 m v^2 = \frac12 I\left(\frac{m v R}{I}\right)^2 = \frac12 \frac{m^2 v^2 R^2}{I} $$
양변에서 \(\dfrac12 m v^2\)를 약분하면
$$ 1 = \frac{m R^2}{I} \quad\Rightarrow\quad I = m R^2 $$
을 얻는다. 한편 우리는 이미 회전축에 대한 관성모멘트가
$$ I = \frac12 M R^2 $$
임을 알고 있으므로, 두 식을 같게 두면
$$ \frac12 M R^2 = m R^2 \quad\Rightarrow\quad M = 2m $$
따라서 요구하는 질량비는
$$ \frac{M}{m} = 2 $$
이다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>