정답
A의 화학식은 \( \mathrm{MO_3} \) 이므로 \(a = +6\) 이다.
인접한 이온 사이 거리의 비는 \[ \frac{r_2}{r_1}=\frac{\sqrt{3}\,l_2}{2l_1} \] 이며, B의 밀도는 \[ \rho_B=\frac{4(m+32)}{(6\times10^{23})(l_2\times10^{-10})^{3}}\ \mathrm{g\,cm^{-3}} \] 이다.
출제 의도
단위 세포에 배치된 이온 수를 세어 화학식을 구하고, 전하 중성을 이용해 이온의 산화수를 구하는 능력을 묻는다.
또한 결정 구조에서 최근접 이온 사이의 거리와 격자 모서리 길이의 기하학적 관계를 유도하고, 단위 세포의 질량과 체적을 이용해 밀도를 식으로 나타낼 수 있는지를 평가한다.
풀이 과정
먼저 산화물 A의 구조를 이용해 조성을 구한다.
A의 단위 세포에서 양이온 \( \mathrm{M^{a+}}\) 는 모든 꼭짓점에 있다. 입방체의 꼭짓점은 8개이며, 각 꼭짓점 이온은 8개의 단위 세포가 공유하므로 한 세포에 기여하는 개수는 \[ 8\times\frac{1}{8}=1 \] 이다. 따라서 단위 세포당 \( \mathrm{M^{a+}}\) 가 1개이다.
산화물 이온 \( \mathrm{O^{2-}}\) 는 모든 모서리 중심에 있다. 모서리는 12개이고, 각 모서리의 이온은 4개의 단위 세포가 공유하므로 \[ 12\times\frac{1}{4}=3 \] 으로, 단위 세포당 \( \mathrm{O^{2-}}\) 가 3개이다.
따라서 A의 화학식은 \(\mathrm{MO_3}\) 이고, 전하 중성 조건 \[ a(+1) + 3(-2)=0 \] 에서 \[ a – 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = +6 \] 을 얻는다.
다음으로 인접 이온 간 거리를 구한다.
A에서 인접한 \(\mathrm{M^{6+}}\) 와 \(\mathrm{O^{2-}}\) 의 위치를 좌표로 잡으면, \(\mathrm{M^{6+}}\) 를 \((0,0,0)\), 인접한 \(\mathrm{O^{2-}}\) 를 모서리 중심 \((\tfrac12,0,0)\) 으로 둘 수 있다(단위는 모서리 길이 \(l_1\)). 따라서 두 이온 사이의 중심 거리 \(r_1\) 은 \[ r_1 = \frac{l_1}{2} \] 이다.
B에서 \( \mathrm{M^{b+}}\) 는 입방 조밀 쌓임(fcc)으로 배열되어 있고, \( \mathrm{O^{2-}}\) 는 모든 사면체 공공을 채우고 있다. fcc 격자에서 금속 이온을 \((0,0,0)\) 에 둔다면, 그와 인접한 사면체 공공의 한 예는 \((\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)\) 이다(단위는 모서리 길이 \(l_2\)).
따라서 B에서 인접한 \(\mathrm{M^{b+}}\) 와 \(\mathrm{O^{2-}}\) 사이의 거리 \(r_2\) 는 \[ r_2 = l_2\sqrt{\left(\frac14\right)^2+\left(\frac14\right)^2+\left(\frac14\right)^2} = l_2\sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}l_2 \] 이다.
따라서 비 \(r_2/r_1\) 은
$$ \frac{r_2}{r_1} =\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}l_2}{\frac{l_1}{2}} =\frac{\sqrt{3}l_2}{2l_1} $$
이 된다.
이제 B의 밀도를 구한다.
B에서 \(\mathrm{M^{b+}}\) 는 fcc 배열이므로 한 단위 세포에 \[ 8\times\frac18 + 6\times\frac12 = 4 \] 개의 M 이온이 있다. 또한 사면체 공공의 개수는 fcc 한 세포당 8개이며, 모두 \(\mathrm{O^{2-}}\) 가 채우므로 단위 세포당 O 이온은 8개이다.
따라서 조성은 \(\mathrm{M_4O_8}\), 즉 \(\mathrm{MO_2}\) 4식 단위이다. M의 원자량이 \(m\), O의 원자량이 16이므로 한 세포의 질량은 \[ m_{\text{cell}} =\frac{4m+8\times16}{N_A} =\frac{4(m+32)}{N_A} \quad(\mathrm{g}) \] 이다. 여기서 \(N_A=6\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}\) 이다.
단위 세포의 모서리 길이는 \(l_2\ \mathrm{pm}\) 이므로, 세포의 부피는 \[ V_{\text{cell}}=(l_2\times10^{-10}\ \mathrm{cm})^3 = l_2^3\times10^{-30}\ \mathrm{cm^3} \] 이다.
밀도 \(\rho_B\) 는
$$ \rho_B =\frac{m_{\text{cell}}}{V_{\text{cell}}} =\frac{\dfrac{4(m+32)}{6\times10^{23}}}{l_2^3\times10^{-30}} =\frac{4(m+32)}{(6\times10^{23})(l_2\times10^{-10})^{3}} \ \mathrm{g\,cm^{-3}} $$
과 같이 \(l_2\) 와 \(m\) 을 포함한 식으로 나타낼 수 있다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>