정답
\(Z=\mathbb{Z}\) 일 때 상대위상은 \(\mathcal{J}_Z=\{\emptyset,\{0\},\{0,1,2\},\{0,1,2,3,4\},\mathbb{Z}\}\) 이고, \(A^\circ=\{0,1,2\}\) 이다.
출제 의도
부분집합 \(Z\) 의 선택이 달라져도 상대위상의 정의는 동일하게 적용됨을 이해하고, \(Z=\mathbb{Z}\) 인 경우에도 열린집합들의 교집합을 통해 상대위상과 내부를 올바르게 계산할 수 있는지를 확인하는 것이다.
풀이 과정
주어진 위상은 그대로
$$ \mathcal{J}=\{\emptyset,(-1,1),(-1,3),(-1,5),\mathbb{R}\} $$
이고, 이제 부분집합을
$$ Z=\mathbb{Z} $$
로 둔다. 상대위상 \(\mathcal{J}_Z\) 는
$$ \mathcal{J}_Z=\{U\cap Z\mid U\in\mathcal{J}\} $$
이므로 각 열린집합과 \(Z\) 의 교집합을 구하면
$$ \begin{aligned} \emptyset\cap Z &= \emptyset,\\ (-1,1)\cap Z &= \{0\},\\ (-1,3)\cap Z &= \{0,1,2\},\\ (-1,5)\cap Z &= \{0,1,2,3,4\},\\ \mathbb{R}\cap Z &= \mathbb{Z}. \end{aligned} $$
따라서 서로 다른 집합들만 모으면
$$ \mathcal{J}_Z=\{\emptyset,\{0\},\{0,1,2\},\{0,1,2,3,4\},\mathbb{Z}\} $$
가 된다.
이제 \((Z,\mathcal{J}_Z)\) 에서
$$ A=\{0,1,2,3\} $$
의 내부 \(A^\circ\) 를 구한다. 내부는 \(A\) 에 포함되는 열린집합들의 합집합이다.
\(\mathcal{J}_Z\) 의 원소 중 \(A\subset Z\) 안에 완전히 들어가는 열린집합은 \(\emptyset,\{0\},\{0,1,2\}\) 이고, \(\{0,1,2,3,4\}\) 와 \(\mathbb{Z}\) 는 \(A\) 를 넘어서므로 제외된다.
따라서
$$ A^\circ = \emptyset \cup \{0\} \cup \{0,1,2\} = \{0,1,2\} $$
가 된다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>