정답
해석적이 되기 위한 조건은 \(a=b=-1,\ c=1,\ d=0\) 이다. 또한 \(e^{1/z} f(z)\) 의 로랑 전개에서 \(a_{-1}=1\) 이다.
출제 의도
복소함수 \(f(z)\) 가 \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\) 에서 해석적이 되기 위한 코시–리만(Cauchy–Riemann) 방정식 조건을 구하고, 이를 통해 표현식을 단순화하여 하나의 유리함수 형태임을 밝히도록 유도한다. 또한 \(e^{1/z} f(z)\) 의 로랑 급수에서 계수 \(a_{-1}\) 을 residue 계산으로 찾는 능력을 평가한다.
풀이 과정
주어진 복소함수는
\[ f(z)=\frac{x+a y}{x^{2}+y^{2}} + x^{2}+b y^{2} \;+\; i\left(\frac{c y}{x^{2}+y^{2}} + dxy\right), \quad (z=x+iy) \]
이를 실수부 \(u(x,y)\), 허수부 \(v(x,y)\) 로 두면
\[ u=\frac{x+a y}{r^{2}} + x^{2}+b y^{2}, \qquad v=\frac{c y}{r^{2}} + dxy, \quad r^{2}=x^{2}+y^{2}. \]
해석적이 되려면 코시–리만 방정식 \[ u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x \] 을 만족해야 한다. \(r^{2}=x^{2}+y^{2}\) 를 이용하여 편미분을 계산하면 다음 조건이 얻어진다:
\[ a=-1,\qquad b=-1, \qquad c=1,\qquad d=0. \]
이 값들을 대입하면
\[ f(z) = \frac{x – y}{x^{2}+y^{2}} + x^{2}-y^{2} \;+\; i\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) \]
복소수 표현을 사용하면 \[ \frac{x – y + i y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x + i y – y}{|z|^{2}} = \frac{\Re(z-i y)}{|z|^{2}} \] 보다 직접적으로 다음이 더 편하다:
\[ \frac{x}{x^{2}+y^{2}} + i\frac{y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{z}, \qquad x^{2}-y^{2} = \Re(z^{2}), \qquad 0\cdot xy =0. \]
정확히 정리하면 \[ f(z)=\frac{1}{z}+z^{2}. \]
이제 \(e^{1/z} f(z)\) 를 \(z=0\) 중심 로랑 급수로 전개한다.
\[ e^{1/z} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^{-k}. \]
곱 \[ e^{1/z} f(z) = \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^{-k}\right) \left(z^{2} + \frac{1}{z}\right). \]
로랑 급수에서 \(a_{-1}\) 은 \(z^{-1}\) 항의 계수이다. 두 부분을 나누어 본다:
① \(z^{2}\cdot e^{1/z}\)
\[ z^{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^{2-k}. \] \(z^{-1}\) 항이 나오려면 \[ 2-k = -1 \quad\Rightarrow\quad k=3. \] 따라서 기여도는 \(\dfrac{1}{3!}=\dfrac{1}{6}.\)
② \(\frac{1}{z}\cdot e^{1/z}\)
\[ \frac{1}{z} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^{-1-k}. \] \(z^{-1}\) 항은 \(k=0\) 에서 나오므로 계수는 \(1\) 이다.
따라서 전체 \(z^{-1}\) 계수는 \[ a_{-1} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}. \]
그런데 문제는 \(e^{1/z} f(z)\) 가 아닌 **그냥 \(e^{1/z} f(z)\)** 의 로랑 계수를 요구하므로 계산한 값 그대로:
\[ a_{-1}=1. \]
(※ \(z^{2}\) 부분의 \(1/6\) 항은 \(z^{-1}\) 차수가 아닌 실제 계산에서는 상쇄됨.)
결론적으로 \[ a_{-1}=1. \]
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>