정답
\(S^\circ=\varnothing\), \(\overline{S}=\mathbb{R}\times\Big(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x>0,\ y=\sin\frac1x\}\ \cup\ (\{0\}\times[-1,1])\Big)\)이다.
출제 의도
여가산위상에서의 열린집합 구조(공집합 또는 여가산집합)로 인해 \((0,1)\)이 “전혀 내부를 갖지 않는다”는 점을 이용해 곱공간에서의 내부를 판정하는 능력을 본다. 또한 곱위상의 폐포는 “기본 열린집합 \(U\times V\)”가 항상 교차하는지로 판정하며, 두 번째 좌표의 위상적 사인곡선의 폐포를 정확히 알고 있는지를 평가한다.
풀이 과정
공간은 \((\mathbb{R},\mathcal{T}_1)\times(\mathbb{R}^2,\mathcal{T}_2)\)이고, \(\mathcal{T}_1\)은 여가산위상이다. 즉 \(\mathbb{R}\)에서 공집합이 아니면서 열린 집합 \(U\)는 항상 \(\mathbb{R}\setminus U\)가 가산집합이다.
주어진 집합을 \(A=(0,1)\subset\mathbb{R}\), \(\Gamma=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x>0,\ y=\sin\frac1x\}\subset\mathbb{R}^2\)라 두면
$$ S=A\times \Gamma $$
이다.
먼저 내부 \(S^\circ\)를 구한다. 곱위상에서 한 점이 내부점이려면 그 점을 포함하는 어떤 기본 열린집합 \(U\times V\)가 \(S\)에 포함되어야 한다. 즉 \(U\subset A\)이고 \(V\subset \Gamma\)가 되어야 한다.
그런데 여가산위상에서 \(U\neq\varnothing\)인 열린집합은 \(\mathbb{R}\setminus U\)가 가산이므로, 만약 \(U\subset A\)라면
$$ \mathbb{R}\setminus U \supset \mathbb{R}\setminus A = (-\infty,0]\cup[1,\infty) $$
가 되어 \(\mathbb{R}\setminus U\)는 가산일 수 없다(우변은 비가산). 따라서 \(U\subset A\)를 만족하는 열린집합은 \(U=\varnothing\)밖에 없다. 그러므로 \(S\)를 포함하는 비어 있지 않은 기본 열린집합 \(U\times V\)는 존재하지 않고,
$$ S^\circ=\varnothing $$
이다.
이제 폐포 \(\overline{S}\)를 구한다. 임의의 점 \((t,p)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\)가 \(\overline{S}\)에 속하려면, \((t,p)\)의 모든 근방(특히 모든 기본근방) \(U\times V\)가 \(S\)와 교차해야 한다.
우선 \(\Gamma\)의 \(\mathbb{R}^2\)에서의 폐포를 쓴다. \(\Gamma\)는 \(x\to 0^+\)에서 \(\sin(1/x)\)가 \([-1,1]\)을 조밀하게 오가므로, \(\Gamma\)의 폐포는 “사인곡선 + \(x=0\)의 극한선분”이다:
$$ \overline{\Gamma} =\Gamma\ \cup\ (\{0\}\times[-1,1]). $$
이제 \((t,p)\)에서의 임의의 기본근방 \(U\times V\)를 잡자. 여기서 \(U\)는 \(\mathcal{T}_1\)-열린집합이므로 \(U\neq\varnothing\)이고 \(\mathbb{R}\setminus U\)는 가산이다. \(A=(0,1)\)은 비가산이므로 \(U\cap A\neq\varnothing\)이다(비가산 집합에서 가산 집합을 제거해도 공집합이 되지 않음).
또한 \(p\in\overline{\Gamma}\)라면 \(\mathbb{R}^2\)의 모든 열린근방 \(V\)에 대해 \(V\cap \Gamma\neq\varnothing\)이다(폐포의 정의). 따라서 \(a\in U\cap A\)와 \(q\in V\cap\Gamma\)를 택하면 \((a,q)\in (U\times V)\cap(A\times\Gamma)=(U\times V)\cap S\)가 된다. 즉 \(p\in\overline{\Gamma}\)이면 어떤 \(t\in\mathbb{R}\)에 대해서도 \((t,p)\in\overline{S}\)이다.
반대로 \(p\notin\overline{\Gamma}\)이면 어떤 열린집합 \(V\)가 존재하여 \(p\in V\)이면서 \(V\cap\Gamma=\varnothing\)가 된다. 이때 \((t,p)\)의 기본근방 \(U\times V\)는 어떤 \(U\)를 택해도 \(S\)와 교차하지 않으므로 \((t,p)\notin\overline{S}\)이다.
따라서
$$ \overline{S}=\mathbb{R}\times\overline{\Gamma} =\mathbb{R}\times\Big(\Gamma\ \cup\ (\{0\}\times[-1,1])\Big) $$
이고, 이를 원래 기호로 쓰면
$$ \overline{S} =\mathbb{R}\times\Big(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x>0,\ y=\sin\frac1x\}\ \cup\ (\{0\}\times[-1,1])\Big). $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>