정답
\(\displaystyle A=\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/4},\ \alpha=\frac{m\omega}{2\hbar},\ E_{\min}=\frac{1}{2}\hbar\omega\)이다.
출제 의도
가우시안 시도 파동함수를 정규화하고, 변분 매개변수에 대한 에너지 기댓값을 최소화하여 1차원 조화진동자의 바닥상태 에너지와 최적 파라미터를 구하는 과정을 평가한다.
풀이 과정
시도 파동함수 \(\psi(x)=A e^{-\alpha x^2}\)를 정규화한다. 정규화 조건 \(\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2dx=1\)을 사용하면
$$ 1=\int_{-\infty}^{\infty}A^2 e^{-2\alpha x^2}\,dx =A^2\sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}}. $$
따라서
$$ A^2=\sqrt{\frac{2\alpha}{\pi}} \quad\Rightarrow\quad A=\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/4}. $$
문제에서 주어진 에너지 기댓값은
$$ E(\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\hat H\psi(x)\,dx =\frac{\alpha\hbar^2}{2m}+\frac{m\omega^2}{8\alpha} $$
이다(정규화된 \(\psi\)에 대한 \(\langle H\rangle\)). 이제 \(\alpha>0\)에서 \(E(\alpha)\)를 최소화하기 위해 미분하여 0으로 둔다.
$$ \frac{dE}{d\alpha}=\frac{\hbar^2}{2m}-\frac{m\omega^2}{8\alpha^2}=0. $$
따라서
$$ \frac{\hbar^2}{2m}=\frac{m\omega^2}{8\alpha^2} \quad\Rightarrow\quad \alpha^2=\frac{m^2\omega^2}{4\hbar^2} \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{m\omega}{2\hbar} $$
(\(\alpha>0\)이므로 양의 해를 택함). 이 값을 \(E(\alpha)\)에 대입하면
$$ E_{\min} =\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{m\omega}{2\hbar} +\frac{m\omega^2}{8}\cdot\frac{2\hbar}{m\omega} =\frac{\hbar\omega}{4}+\frac{\hbar\omega}{4} =\frac{1}{2}\hbar\omega. $$
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>