정답
A에서 \(\Delta \vec{V}_g\)는 동쪽(서풍 강화)이고, \(\Delta t\) 동안 비지균풍은 북쪽이며, 비지균풍은 등고선을 가로질러 높은 지위퍼텐셜(남쪽)에서 낮은 지위퍼텐셜(북쪽)로 공기를 이동시켜 지위퍼텐셜 에너지를 운동에너지로 전환함으로써 지균풍을 가속한다.
출제 의도
지균풍과 비지균풍의 관계식에서, 지위퍼텐셜 고도의 시간 변화(경도장 변화)가 지균풍의 시간 변화와 비지균풍을 유도하는 과정을 해석하는 능력을 평가한다. 또한 등고선(지위퍼텐셜고도선)과 등변화선(고도 변화율)의 배치를 읽어 바람의 방향을 판단하고, 비지균풍의 에너지적 역할을 설명할 수 있는지를 묻는다.
풀이 과정
그림에서 실선은 \(t=t_0\)의 지위퍼텐셜 고도 등고선이며, 값이 북쪽에서 1430 gpm, A 부근 1460 gpm, 남쪽에서 1490 gpm으로 남쪽으로 갈수록 커진다. 즉 \(t_0\)에서 지위퍼텐셜 고도는 남쪽이 높고 북쪽이 낮다.
점선은 \(t_0\to t_1\) 동안의 지위퍼텐셜 고도 변화율(또는 변화량에 비례)을 나타내며, 북쪽에서 \(-60\), 그보다 남쪽에서 \(40, 20, 0\)으로 남쪽으로 갈수록 값이 커진다. 따라서 \(\frac{\partial \phi}{\partial t}\) (또는 \(\frac{\partial}{\partial t}(\phi/g_0)\))의 수평 경도는 “남쪽 방향”으로 증가하는 형태이다.
$$ \text{점선 값이 남쪽으로 갈수록 증가} \;\Rightarrow\; \nabla_p\!\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)\ \text{는 남쪽(} -\hat{\jmath}\text{) 방향} $$
지균풍의 시간 변화는 자료의 관계식으로부터
$$ \frac{\partial \vec{V}_g}{\partial t}=\frac{1}{f}\,\hat{k}\times \nabla_p\!\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right) $$
이다. 여기서 \(\nabla_p(\partial \phi/\partial t)\)가 남쪽(\(-\hat{\jmath}\))이므로 \(\hat{k}\times(-\hat{\jmath})=+\hat{\imath}\)가 되어 \(\frac{\partial \vec{V}_g}{\partial t}\)는 동쪽이다. 따라서 \(\Delta t\) 동안
$$ \Delta \vec{V}_g=\vec{V}_g(t_1)-\vec{V}_g(t_0)\ \text{의 방향은 동쪽 }(+\hat{\imath}) $$
즉 A에서 지균풍은 동쪽 성분이 증가하며(서풍이 강화되며) \(\Delta \vec{V}_g\)는 동쪽이다.
비지균풍은 자료에서
$$ \vec{V}_a=\frac{1}{f}\,\hat{k}\times \frac{D\vec{V}_g}{Dt}\approx \frac{1}{f}\,\hat{k}\times \frac{\partial \vec{V}_g}{\partial t} $$
로 주어진다(문제에서 지균풍의 시간 변화량을 국지적 변화량으로 가정). 위에서 \(\frac{\partial \vec{V}_g}{\partial t}\)가 동쪽(\(+\hat{\imath}\))이므로 \(\hat{k}\times \hat{\imath}=\hat{\jmath}\)가 되어 비지균풍은 북쪽이다.
$$ \vec{V}_a\ \text{의 방향}:\ \hat{k}\times(+\hat{\imath})=+\hat{\jmath}\ \Rightarrow\ \text{북쪽} $$
이제 에너지 관점에서 비지균풍의 역할을 등고선과 함께 설명하면, A에서 비지균풍이 북쪽이라는 것은 공기가 지위퍼텐셜 고도가 높은 남쪽(1490 gpm 쪽)에서 낮은 북쪽(1430 gpm 쪽)으로 등고선을 가로질러 이동한다는 뜻이다. 즉 공기는 더 낮은 지위퍼텐셜(더 낮은 고도) 쪽으로 이동하며 지위퍼텐셜 에너지가 감소한다.
마찰을 무시하면 이렇게 감소한 지위퍼텐셜 에너지는 주로 바람의 운동에너지 증가로 전환되어, 위에서 구한 것처럼 지균풍을 동쪽으로 가속(서풍 강화, \(\Delta \vec{V}_g\) 동쪽)시키는 역할을 한다. 따라서 비지균풍은 등고선을 가로질러 에너지 변환을 매개하며 지균풍의 시간 변화를 만들어낸다.
<풀이가 부정확할 수 있으니 반드시 교차검증 확인 바랍니다.>